51、二次型及其矩阵表示 三、二次型的标准形 定义3 称只含平方项的二次型厂=∑x为标准二次型 n元标准二次型∫ 对应 n阶对角矩阵 思考:二次型∫=XTAX经过满秩线性变换X=CY后还是二次型吗? 对于二次型f=XTAX,作满秩变换X=CY, f=XTAX=(CY )A(CY=Y(CTAC)Y 而 (C TAC T=CTAT(C T)T=C TAC 所以∫=YT(CTAC)Y仍是关于新变量Y的二次型,且二次型的矩阵 为CTAC 满秩变换X=CY ∫=XTAX F=YTBY兮B=CTAC 第七章二次砖与二次曲面定义3 第七章 二次型与二次曲面 §1、二次型及其矩阵表示 三、二次型的标准形 称只含平方项的二次型 = = n i i i f x 1 2  为标准二次型. n 元标准二次型 f n 阶对角 矩 阵 一一对应 思考：二次型 f = X TAX 经过满秩线性变换 X = CY 后还是二次型吗? 对于二次型 f = X TAX ，作满秩变换 X = CY , 则 f = X TAX = (CY ) TA(CY) = Y T(C TAC ) Y . 而 (C TAC ) T = C TAT(C T ) T = C TAC , 所以 f = Y T(C TAC ) Y 仍是关于新变量 Y 的二次型, 且二次型的矩阵 为 C TAC . 满秩变换 X = CY f = X TAX F = Y TBY  B = C TAC