由于幂级数∑cn(z-a)的每一项都是z的解析函数,Abel定理告诉我们,幂级数在其收 敛圆内任一闭区域中一致收敛,因此,根据4.2节,在收敛圆内,幂级数代表了一个解析函数(或 者说,幂级数的和函数在收敛圆内解析),可以对幂级数逐项积分或逐项求导数, (2-a)"dz ∑[(z-a)+1-(2 d dz ∑cn+1(n+1)(2-a) 幂级数在收敛圆上的收敛性? 可以处处收敛 可以处处发散, 也可以在一部分点收敛,在另一部分点发散 1+z+2+…+zn+ 在|2|=1上处处发散; 在|=1上除z=1外均收敛,而在z=1点发散; 1.22.33.4 +…在|2|=1上处处收敛 不论哪种情况,幂级数的收敛圆上总肯定有奇点. 但即使在奇点,幂级数仍然可能是收敛的(即有确定的函数值) 设幂级数∑cn(2-a)在收敛圆内收敛到f(x),如果级 数在收敛圆周上某点20也收敛,和为S(∞0),则阿贝耳第二 定理(不证)告诉我们,当z由收敛圆内趋于20时,只要保持 在以20为顶点、张角为2<丌的范围内(见图5.1),f(z)就 定趋于S(20) 图5.1阿贝耳第二定理Wu Chong-shi ￾✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ (✞) ✟ 3 ✠ qr✕✖✗ P∞ n=0 cn(z − a) n ✤❒✧✜❮✚ z ✤❰Ï✣✗✥ Abel ■❝ÐÑÒÓ✥✕✖✗✺Ô✽ ✾ ❁❅✇✧ÕÖ× ❉ ✧❊✽✾✥●P✥ ➁➂ 4.2 Ø ✥✺ ✽✾ ❁❅✥✕✖✗ÙÚ⑨✧s❰Ï✣✗ (Û Ü⑤✥✕✖✗✤Ý✣✗✺ ✽✾ ❁❅❰Ï) ✥➄❀❇✕✖✗Þ✜ß❺Û Þ✜➌à✗✥ Z z z0 X∞ n=0 cn(z − a) n dz = X∞ n=0 cn Z z z0 (z − a) n dz = X∞ n=0 cn n + 1 (z − a) n+1 − (z0 − a) n+1 , d dz X∞ n=0 cn(z − a) n  = X∞ n=0 cn d(z − a) n dz = X∞ n=0 cn+1(n + 1)(z − a) n . F ✕✖✗✺ ✽✾ ❁ ✈ ✤ ✽✾á â • ➄❀❫❫✽✾✥ • ➄❀❫❫❬❭✥ • ✭➄❀✺✧❹❺✼ ✽✾✥✺❻✧❹❺✼ ❬❭✳ 1 + z + z 2 + · · · + z n + · · · ✺ |z| = 1 ✈❫❫❬❭➒ z 1 + z 2 2 + z 3 3 + · · · + z n n + · · · ✺ |z| = 1 ✈ ➇ z = 1 ❪ã✽✾✥❈✺ z = 1 ✼ ❬❭➒ z 2 1 · 2 + z 3 2 · 3 + z 4 3 · 4 + · · · + z n n(n − 1) + · · · ✺ |z| = 1 ✈❫❫✽✾✳ äåæ★❶❷✥✕✖✗✤✽✾ ❁ ✈ ②➊■➎➋✼✳ ➉ ❯ ❙✺➋✼✥✕✖✗ç❞➄è✚✽✾✤ (❯ ➎é■✤✣✗ê) ✳ ❣✕✖✗ X∞ n=0 cn(z − a) n ✺ ✽✾ ❁❅✽✾ë f(z) ✥✸✹✖ ✗✺ ✽✾ ❁ì✈✻✼ z0 ✭ ✽✾✥Ý✢ S(z0) ✥✿ íîï✶ð ✴✵ (ä❵ ) ÐÑÒÓ✥❲ z q ✽✾ ❁❅ñr z0 ❱ ✥ò▼óô ✺❀ z0 ✢õ✼✱ö÷✢ 2φ < π ✤ø ù❅ (úû 5.1) ✥ f(z) ⑥ ✧■ñr S(z0) ✳ ü 5.1 ýþÿ✟￾✁✂