52含参量的反常积分的解 §5.2含参量的反常积分的解析性 §53中有关函数级数解析性的结论,也可以用来讨论含参量的反常积分的解析性 定理 1.∫(t,z)是t和z的连续函数,t>a 2.对于任何t≥a,∫(t,2)是G上的单值解析函数, 3.积分/f(t,2)t在百上一致收敛,即v>0,彐(),当12>71>T()时,有 f(t,2) 则F()=/()d在G内是解析的,且 F(a) 证任取一个无界序列{an} a0=a<a1<a2<a3<……<an<an+1< lim an =oo. 令u()=”(3),则根据37节关于含参量的定积分的解析性的定理,可知()是G内 的单值解析函数.又因为 在石上一致收敛,故根据 Weierstrass定理,知 F(2)=∑un(2) f(t, a)dt 在G内解析,且 F(2)=∑v(2) af (t, 2) 对于含参量的瑕积分也可以类似地处理 在应用这个定理时,需要判断无穷积分(或瑕积分)是否一致收敛.常用的判别法是:如果存 在函数(),使得(2)<(,2∈7,而且厂收敛,则厂(2在可上绝对而且 致收敛 作为含参量的无穷积分的一个例子,下面讨论积分 F(2) 这个积分中的被积函数显然满足定理的前两个条件,而且因为对于复数z=x+iy,有 Icos 2xt|=vcosh22yt-cos22-t s cosh 2 lytl s e2lytlWu Chong-shi §5.2 ✄☎✆✝✞✟✠✡✝☛☞✌ ✟ 4 ✠ §5.2 ✍✎✏✑✒✓✔✕✑✖✗✘ §5.3 ❉ ➎✙✣✗✖✗❰Ïá ✤✚å✥✭➄❀✲④✛å✜✢✣✤❴✙ß❺✤❰Ïá ✳ ✴✵ 5.2 ❣ 1. f(t, z) ➥ t ✤ z ➜✥✦✧★✥ t > a ✥ z ∈ G ✥ 2. ✩✪✫✬ t ≥ a ✥ f(t, z) ➥ G ✭ ➜✃✮✯✰✧★✥ 3. ✱✲ Z ∞ a f(t, z)dt ➻ G ✭✳✴↔↕✥✵ ∀ε > 0 ✥ ∃T (ε) ✥➽ T2 > T1 > T (ε) ➘✥➠      Z T2 T1 f(t, z)dt      < ε, ✿ F(z) = Z ∞ a f(t, z)dt ✺ G ❅✚❰Ï✤✥✶ F 0 (z) = Z ∞ a ∂f(t, z) ∂z dt. ❋ ✇✷✧s ✸✹ ✺✻ {an} a0 = a < a1 < a2 < a3 < · · · < an < an+1 < · · · , limn→∞ an = ∞. ✼ un(z) = Z an+1 an f(t, z)dt ✥✿ ➁➂ 3.7 Ø ✙r✜✢✣✤■ß❺✤❰Ïá ✤■❝✥➄✽ un(z) ✚ G ❅ ✤✾ê❰Ï✣✗✳✿●✢ F(z) = X∞ n=0 un(z) ✺ G ✈ ✧❊✽✾✥❍➁➂ Weierstrass ■❝✥✽ F(z) = X∞ n=0 un(z) = Z ∞ a f(t, z)dt ✺ G ❅❰Ï✥✶ F 0 (z) = X∞ n=0 u 0 n (z) = Z ∞ a ∂f(t, z) ∂z dt. ❇r✜✢✣✤❀ß❺✭➄❀❁❂❃❫ ❝✳ ✺❄✲✦s■❝ ❱ ✥❅▼ ➐❆❇❈ß❺ (Û ❀ß❺) ✚❉✧❊✽✾✳✙✲✤➐➑❛✚❸ ❊❋➺ ➻ ✧★ φ(t) ✥●❍ |f(t, z)| < φ(t) ✥ z ∈ G ✥➫■ Z ∞ a φ(t)dt ↔↕✥➭ Z ∞ a f(t, z)dt ➻ G ✭❏✩➫■ ✳✴↔↕✳ ❑✢✜✢✣✤ ❇❈ß❺✤✧s▲▼✥◆ ✉ ✛åß❺ F(z) = Z ∞ 0 e −t 2 cos 2zt dt. (5.1) ✦sß❺ ❉ ✤❖ß✣✗P❞❏❑■❝✤◗➏s◆❖✥❈✶●✢❇r❘✗ z = x + iy ✥➎ |cos 2zt| = q cosh2 2yt − cos22xt ≤ cosh 2 |yt| ≤ e 2|yt| .