高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 其中4仁(PQ,t={cos,sin)为有向曲线弧L上点(x,)处单位切向量，dtds=(d,dy. 类似地有「Pc+Qd+Rd=∫[Pcosa+QcosB+Rcos门s, 或 L-dr=[A-tds-[Ads 其中4：(PQ,={cosa,cosp,cos小为有向曲线弧T上点(xy2)处单们切向量，-Tds ={dx,dy,dz,A,为向量A在向量t上的投影. 三、对坐标的曲线积分的计算： 定理：设P八x)、Q(x)是定义在光滑有向曲线上：=(t),=w(t), 上的连续函数，当参数t单调地由a变到B时，点抓x)从L的起点A沿L运动到终点B则 xd=di, [.dy-dr 讨论：∫Px,y)kc+0(x,)d=? 提示： [Pxy+Ox.dv-P.+)vdi 定理：若P八x)是定义在光滑有向曲线上：=p(t),=w(t)(as≤B 上的连续函数，L的方向与t的增加方向一致，则 [Pd=di 简要证明：不妨设a心B.对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为(o(t),W(t),所以 p'() V02(t)+y2(t0 从而 P(xdx=[P(x,y)costds -0uolo89司 p'() +vdt-Mo.d. 注意下限a对应L的起点，上限B对应L的终点，a不一定小于B, 讨论：若空间曲线厂由参数方程=p),y=y（t),=o(t) 给出，那么曲线积分」P(Cx,y,z+Qx,y,2)妙+R(x,y,z证=？ 如何计算？提示： [P(x.y.z)+Q(x,y.z)dy+R(x,y,z)dz -Po.v(.o(+O).v).0W(-+R).v).b(d. 其中α对应于T的起点，B对应于下的终点