高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 例1.计算∫9k,其中L为抛物线广=x上从点A1,-)到点B1,1)的一段弧 解法一：以x为参数.L分为A0和OB两部分：A0的方程为y=-√x,x从1变到0；OB的 方程为y=√乐，x从0变到1. 因此n=loh+-∫(Rk+=2k专 第二种方法：以y为积分变量.L的方程为=，y从-1变到1.因此 =202yw=2,yw-号 例2.计算2本 (1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周X+=: (2)从点A(a0)沿x轴到点B(-a,0)的直线段. 解(1)L的参数方程为x=a cos0=asin8,0从0变到x.因此 a sin-asindeaco (②)L的方程为=0，x从a变到-a因此∫y2=0k=0 例3计算∫2c+x2小.()抛物线=上从00,0)到B1,)的一段弧；(2)抛物 线=y上从0(0,0)到B(1,1)的一段弧；(3)从00,0)到A(1,0),再到R(1,1)的有向折 线OAB. 解(1)：=x,x从0变到1.所以 [2xd+xdy=f(2xx2+x2.2x)d=4fxd=1. (2):=,y从0变到1.所以 [2xydx+xdy=f(2y2.y.2y+y4)dy =5fydy=1. (3)0A=0,x从0变到1；AB=1,y从0变到1 2xy+xd=2xvd+xdy+2xyd+xd =j2x0+x2.0d+j2y0+1-0+1=l 例4.计算「xk+3ay2-x2yb,其中r是从点A3,2,1)到点B0,0,0)的直线段 AB 解：直线B的参数方程为=3t,=2七，=七，t从1变到0.所以 1=ep-3+32p22-6p-21h-87rh=-87