·82 智能系统学报 第2卷 (u(0.v(0)=(ut0.vt)=(x.)+ d 由引理2知，x,和：同在障碍物边界的一条渐 近线上，从而|s(x,x)-s(红，x川=o‖dxD x 于是 x3()+y()’ x3()+y( s(xx)=llx-l+s(,x)= (x刊，y1))- x3()+y3()· ‖x7-:‖+s(x,x+o(dx:D x t 而又Ix-:I=Ix-xl, x3()+y3() x3()+y3( [cos (x-x:,Y(x:,x))] xYt t N3()+y2() -(x'-x)Y(x.xj)=-Y(xi.xj)dx Nx3()+y2() 于是， xit Nx3()+y3() 3()+y2() s(xx)=s(x,,x)r(x,x)dx,+o(lldx, 略去高阶小量得： x 又因为 (d+y( 是单 x(+( s(x:dxi,xj)s(xx)=-Y(xi.xj)dxi. 位向量，从而 同理， x y s(xi,xi+dx)-s(xi.xj)=-Y(x,xi dxj, N3()+3(刊 与 Nx3()+y3() 从而， x y ds(x:.xj)=-(Y(xi,xj)dx:+y(xj.x)dxj). d3()+('()+y3(W 垂直，即得： 3)对于2)的退化情况或1)与2)的过渡阶段 PQ山 (如图10)，也有 证毕 ds(x,xj)=-(Y(xi,xj)dxi +y(xj,x)dxj). 附录B 引理3的证明： )当L(x,x)为远离障碍物的直线时， s,x动=‖xⅡ，Y(,)=,- Xi-Xi (a)退化情况 (b)过渡情况 W=于是，有 图10退化情况和过渡情况 Fig.10 Deterioration and intermediation ds(x,x)=d‖x-x‖= 女+可创 参考文献： (Y(xi,xj)dx +Y(xj,x)dxj) [1 ]BREDER C M.Equations descriptive of fish schools and 2)一般情况下，L(x:,x)可能不是一条直线。 other animal aggregations [J ]Ecology,1954,35(3): 361-370 [2 WARBURTON K,LAZARUS J.Tendency-distance models of social cohesion in animal groups [J].Theoretic Biology,1991,150:473.488. [3]OKUBO A.Dynamical aspects of animal grouping: swarms[J].Schools,Flocks and Herds,1986,22 1- 94. 图9最短路径的微小变化 [4]GRUNBAUM D,O KUBO A.Modeling social animal ag- Fig.9 Shortest paths tiny change gregations[A].Frontiers in Theoretical Biology [C]. 如图9所示，L(x:,x)是由一些与障碍物相切 New York,1994. 或相接的线段和障碍物边界曲线组成的.x,改变微 [5]PARRISH J K,HAMNER W M E.Animal groups in 元dx,变为x,x:=x+dx.过x,向L(x4,x)作 three dimensions M].Cambridge:Cambridge Univ 垂线，垂足为z,则z将L(x,x)截成直线xz和 Press,1997. L(=.xj). [6]VICSEK T,CZIROK A,JACOB E,et al.Novel type of 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.netd dt ( u( t) , v ( t) ) = ( u·( t) , v·( t) ) = ( x·( t) , y·( t) ) + d dt l x·( t) x·2 ( t) + y·2 ( t) , y·( t) x·2 ( t) + y·2 ( t) = ( x·( t) , y·( t) ) - x·2 ( t) + y·2 ( t) · x·( t) x·2 ( t) + y·2 ( t) , y·( t) x·2 ( t) + y·2 ( t) + l d dt x·( t) x·2 ( t) + y·2 ( t) , y·( t) x·2 ( t) + y·2 ( t) = l d dt x·( t) x·2 ( t) + y·2 ( t) , y·( t) x·2 ( t) + y·2 ( t) 又因为 x·( t) x·2 ( t) + y·2 ( t) , y·( t) x·2 ( t) + y·2 ( t) 是单 位向量 ,从而 x·( t) x·2 ( t) + y·2 ( t) , y·( t) x·2 ( t) + y·2 ( t) 与 d dt x·( t) x·2 ( t) + y·2 ( t) , y·( t) x·2 ( t) + y·2 ( t) 垂 直 , 即 得 : PQ ⊥L . 证毕. 附录 B 引理 3 的证明 : 1) 当 L ( xi , x j ) 为 远 离 障 碍 物 的 直 线 时 , s( xi , x j) = ‖xi - x j ‖,γ( xi , x j ) = x j - xi ‖xi - x j ‖ , γ( x j , xi) = xi - x j ‖xi - x j ‖ . 于是 ,有 ds( xi , x j) = d ‖xi - x j ‖ = - x j - xi ‖xi - x j ‖ d xi + xi - x j ‖xi - x j ‖ d x j = - (γ( xi , x j) d xi +γ( x j , xi) d x j) 2) 一般情况下 , L ( xi , x j) 可能不是一条直线. 图 9 最短路径的微小变化 Fig. 9 Shortest path’s tiny change 如图 9 所示 , L ( xi , x j ) 是由一些与障碍物相切 或相接的线段和障碍物边界曲线组成的. xi 改变微 元 d xi 变为 x′i , x′i = xi + d xi . 过 xi 向 L ( xi , x j ) 作 垂线 ,垂足为 z ,则 z 将 L ( xi , x j ) 截成直线 x′iz 和 L ( z , x j) . 由引理 2 知 , xi 和 z 同在障碍物边界的一条渐 近线上 ,从而 ,| s( xi , x j) - s( z , x j) | = o( ‖d xi ‖) . 于是 s( x′i , x j) = ‖x′i - z ‖+ s( z , x j) = ‖x′i - z ‖+ s( xi , x j) + o( ‖d xi ‖) 而又 ‖x′i - z ‖= ‖x′i - xi ‖, [ - cos ∠( x′i - xi ,γ( xi , x j) ) ] = - ( x′i - xi)γ( xi , x j) = - γ( xi , x j) d xi 于是 , s( x′i , xj) = s( xi , xj) - γ( xi , xj) dxi + o( ‖dx i ‖) , 略去高阶小量得 : s( xi + d xi , x j) - s( xi , x j) = - γ( xi , x j) d xi . 同理 , s( xi , x j + d x j) - s( xi , x j) = - γ( x j , xi) d x j , 从而 , ds( xi , x j) = - (γ( xi , x j) d xi +γ( x j , xi) d x j) . 3) 对于(2) 的退化情况或(1) 与 (2) 的过渡阶段 (如图 10) ,也有 ds( xi , x j) = - (γ( xi , x j) d xi +γ( x j , xi) d x j) . 图 10 退化情况和过渡情况 Fig. 10 Deterioration and intermediation 参考文献 : [1 ]BREDER C M. Equations descriptive of fish schools and other animal aggregations [J ]. Ecology , 1954 , 35 (3) : 361 - 370. [ 2 ] WARBURTON K , LAZARUS J. Tendency2distance models of social cohesion in animal groups [J ]. Theoretic Biology ,1991 , 150 :473 - 488. [ 3 ] O KUBO A. Dynamical aspects of animal grouping : swarms[J ]. Schools , Flocks and Herds , 1986 , 22 :1 - 94. [ 4 ] GRU¨NBAUM D , O KUBO A. Modeling social animal ag2 gregations[ A ]. Frontiers in Theoretical Biology [ C ]. New York ,1994. [5 ] PARRISH J K , HAMNER W M E. Animal groups in three dimensions [ M ]. Cambridge : Cambridge Univ Press , 1997. [ 6 ]VICSEK T , CZIRO K A , J ACOB E , et al. Novel type of · 28 · 智 能 系 统 学 报 第 2 卷