证→)设Iimf(x)=A,… )(证明对任何{xn}cU(x0,"),xn→>x,{f(xn)收敛 然后利用Th9的充分性) 对任何{xn}c∪°(x0,6'),xn→x0,证明{f(xn)是 Cauchy列 Ex[]P857,9 §2连续函数(5时) 函数在一点的连续性: 1.连续的直观图解:由图解引出解析定义 2.函数在一点连续的定义:设函数∫(x)在点x0某邻域有定义 定义(用limf(x)=f(x0)) x→x0 定义(用f(xo-0)=f(x0+0)=f(x0)) 定义(用Iim△y=0.)先定义Ax和△y 定义 E-”定义) 例1试证明若A∈R,VE>0,36>0.,Wx,|x-x<,→ f(x)-A|<E,则f(x)在点x连续 例2用“-6”定义验证函数f(x)=3x-1 在点x0=1连续 例3由§1例5得,函数sinx在R内每一点连续.同理可得函数cosx也证 ⇒) 设 Axf , …… xx = → )(lim0 ( ⇐) 证明对任何 ) , (} { ， ， 收敛. ⊂ xx 0 δ ′ n D ∪ 0 xxn → )}({ n xf 然后利用 Th 9 的充分性 ) 对任何 ) , (} { , ， 证明 是 Cauchy 列 . ⊂ xx 0 δ ′ n D ∪ 0 xxn → )}({ n xf Ex [1]P85 7，9； § 2 连续函数( 5 时 ) 一． 函数在一点的连续性： 1． 连续的直观图解： 由图解引出解析定义. 2. 函数在一点连续的定义: 设函数 在点 某邻域有定义 xf )( . 0 x 定义 ( 用 ).()(lim ) . 0 0 xfxf xx = → 定义 ( 用 ).()0()0( ) 0 0 0 − += = xfxfxf 定义 ( 用 .0lim ) 0 Δ = →Δ y x 先定义 Δx 和 Δy. 定义 ( “ε −δ ”定义.) 例1 试证明: 若∃A R , ∀∋∈ ε > ∃δ > ,0 ,0 xxx 0 δ , , ⇒<−∀ Axf <− ε, )( 则 在点 连续 xf )( . 0 x 例2 用“ε −δ ”定义验证函数 13 2 )( 2 − + = x x xf 在点 x0 = 1连续. 例3 由§1 例 5 得，函数 在 sin x R 内每一点连续. 同理可得函数cos x也 28