Th8limf(x)=A,◇对任何xn≠x且xn→x(n→∞),有f(xn)→A (n→∞).(解释xn∈Dr,下面不再每次声明) (证) Heine归并原则的意义:整体与部分,连续与离散,证明函数极限不存在 Th9limf(x)存在,◇对任何xn≠x0且xn→x(n→∞),{(xn)收敛 )(证明对任何xn→x0且xn≠x0,{f(xn)}收敛于同一极限) 设xn→x0,xn≠x0;x"→>x,x≠x0·∫(x)→A,f(xn)→B (n→∞).现证A=B.考虑数列{Ln},其中 n=2k-1 ln (即{tn}:x,x1,x 易见ln→x,且Ln≠x。,因此{f(Ln)}收敛 A= B 例37证明函数∫(x)=in-在点x=0没有极限jP78E6 例38证明 Dirichlet函数D(x)在每一点都没有极限 例39利用数列极限的双逼原理证明函数极限的双逼原理 例40证明:f(x0-0)=+∞,分对任何从左方收敛于x0的数列 {xn}(xn<x0),有f(xn)→>+∞,(n→∞) 作业提示 2. Cauchy收敛原理 Th0设函数∫在点x0的某空心邻域U(x0,δ)内有定义则极限lmf(x) 存在,台VE>0,彐>0(<′),使对vx’,x"∈U°(x0,6),有 f(x')-f(x")|<ETh 8 ,)(lim0 = ⇔ → Axf xx 对任何 0 xxn ≠ 且 )( n 0 nxx →→ ∞ ，有 Axf . n )( → n ∞→ )( . （ 解释 ∈ Dx fn ，下面不再每次声明 ） ( 证 ) Heine 归并原则的意义：整体与部分 ，连续与离散 ，证明函数极限不存在 . Th 9 )(lim 存在, 对任何 0 xf →xx ⇔ 0 xxn ≠ 且 )( n 0 nxx →→ ∞ , )}({ 收敛. n xf 证 ⇒) ⇐) ( 证明对任何 n → xx 0 且 0 xxn ≠ ， )}({ 收敛于同一极限. ) n xf 设 , 0 xxn ′ → 0 xxn ′ ≠ ； ，0 xxn ′′ → 00′′ ≠ xx . Axf n ′ )( → , Bxf n ′′)( → , ( n ∞→ ) . 现证 A = B . 考虑数列 tn } { , 其中 ⎩ ⎨ ⎧ ′′ = ′ −= = . 2 , , 12 , knx knx t k k n ( 即 } { : nt ′ ′′ ′ xxxx 2211 ′′ , , , , " ). 易见 n → xt 0 , 且 0 xtn ≠ . 因此 } )( { 收敛, … ntf ⇒ A = B . 例 37 证明函数 x xf 1 = sin)( 在点 x = 0没有极限. [1]P78 E6 例 3 8 证明 Dirichlet 函数 在每一点都没有极限 xD )( . 例 39 利用数列极限的双逼原理证明函数极限的双逼原理. 例 40 证明: xf 0 − = +∞ ,)0( ⇔ 对任何从左方收敛于 的数列 0 x )( }{ 0 xxx nn < , 有 xf +∞→ n → ∞)( , )( n . ( 作业提示 ) 2． Cauchy 收敛原理： Th10 设函数 在点 的某空心邻域 f x0 ∪D x0 δ ′) , ( 内有定义 .则极限 )(lim0 xf →xx 存在 ,⇔ ε >∀ 0 ，∃δ > 0 ( δ < δ ′ ) ，使对∀ ′ , xx ′′∈ ) , (x0 δ D ∪ , 有 ′ − xfxf ′′ < |)()(| ε . 27