2.复函数论的开始 3业 (5) Z(②)de=V, 其中名是实的.他令名=心+y,从而V变为P+视.于是 (6) P+视-(M+N(dac+id）, 其中M+N现在是Z(2)的复形式.根据他的基本断言， (7) P.-视-(M-iN)(dc-id）, 所以将实部及虚部分开，就有 (8) P-Mdz-Ndy,Q=Nda+Mdy. 于是，Mdm一Vdy与Wdc+Mdy分别是P与Q的恰当微分，随 之有 (9) 兴-器器 这样在Z(②)中代入名=c+y,“就得到两个函数M和N,它们具 有值得注意的性质：aM/ay=-aN/e,aM/ac=aN/gP与Q 也有类似的性质”.这里Euler强调了一个复函数的实部和虚部 即M和N,满足Cauchy-Riemann方程.但是，他的主要点是利 用积分(8)去计算（⑤），因为P等于原来的V.为将(8)中的积分化 为一元函数的积分，Euler在（⑤）中把=心+y换为z=r(cos9+ Bsi8),并保持B不变.事实上这就是沿着复平面上过原点的一 条射线积分.然后他用他的方法去求一些积分的值. Laplace也使用了复函数去求积分的值.在从1782年起到他 的名著《概率的分析理论》(Theorie analytique des probabilites, 1812)为止的一系列论文中，他象ler那样，把实积分转换为复 积分来计算实积分的值.Laplace要求优先权，因为uler的论文 发表得比他晚.不过，即使是上面提到的1793年和1797年的论 文，就已在1777年三月在彼得堡科学院宣读过.在这一工作中 Laplace附带地引进了我们现在称之为解微分方程的Laplace变