三章理性消费者 px≠r,那么必然px<r,这是因为D(p,r)sB(p,r)。既然-是无满足的偏好,就存在着某 个方案y∈X使得x<y。由于x是B(p,r)中的最优方案,于是y必然不在预算集合B(p,r) 中,即py>r(如图3-6所示)。 对每个t∈[O,1],令f()=(1-1)px+y,则定义了闭区 间[O,1上的连续函数f(1),且f(0)=px<r<py=f(1)。从 连续函数介值定理可知,存在r'∈[O,]使得f(r')=r。令 z=(1-t)x+t'y,则z∈X,pz=(1-t)px+t'py=f()=r 从而z∈B(p,r)。注意,y>x且≤是凸偏好,因此二>x,这 预算线 与x是B(p,r)中的最优方案相矛盾。可见px≠r不能成立, 即只有px=r 图3-6证明思路的直观意义 、需求映射 马歇尔需求的存在性和唯一性告诉我们,对于理性消费者来说,即在假设HC和假设HP下, 对于任何的(p,r)∈△,都有唯一的方案5(p,r)∈D(p,r)与之对应,即D(p,r)={5(p,r)}。这 就定义了一个从价格收入集合△到消费集合X的映射:△→X,称这个映射ξ为消费者的马 歇尔需求映射,简称为需求映射 把(P,r)写成分量形式:5(p,r)=(51(p,r),2(P,r),…,(p,r),便得到定义在△上的C 个函数5(p,n)(i=1,2,…,O,称这些函数为消费者的马歇尔需求函数,简称为需求函数 要确定需求映射,假设H和假设HP是必需的。不严格地说,马歇尔需求映射的确定几 乎等同说偏好关系是严格凸的。如果马歇尔需求落在消费集合内部,即对任何(p,r)∈Δ,都 有D(p,r) cint X,那么马歇尔需求映射的确定就几乎等同于偏好的内部严格凸性。 注意,对于任何实数1>0,β(φ,m)=B(p,r),即把价格和收入按照同一比例扩大或缩 小时,预算集合不变。因此,相应的马歇尔需求也就不变。这个给出了需求映射的如下性质 定理(需求映射的零阶齐次性).对任何(p,r)∈Δ及实数t>0,都有ξ(tp,mr)=5(p,r) 再从前面关于马歇尔需求结清性的讨论可知,需求映射还具有人们通常所说的瓦尔拉性 质,即收支平衡。这种性质,也叫做需求映射的瓦尔拉法则。 定理(需求映射的瓦尔拉法则).对任何(p,r)∈Δ,都有p5(p,r)=pr,即收支平衡。 四、间接效用函数 马歇尔需求ξ(P,r)是消费者在价格体系p和收入水平r下必然选择的消费方案,代表着 由价格体系p和收入r确定的效用水平(即消费者生活水平)。这样,当价格与收入发生变化时, 消费者生活水平就跟着发生变化。间接效用函数就是反映消费者生活水平同价格和收入之 间的关系的函数,它通过(直接)效用函数u和需求映射来定义:对于任何(p,r)∈△ u(p, r=u(s(p, r)) 通过研究间接效用函数,我们可掌握消费者生活水平随价格和收入的变化规律。以后在 讨论消费最优化的实现问题和研究需求变动规律的时候,间接效用函数将会进一步提及 第五节支出最小化第三章 理性消费者 43 px  r ，那么必然 px  r ，这是因为 D( p,r)  ( p,r) 。既然 是无满足的偏好，就存在着某 个方案 y X 使得 x  y 。由于 x 是 ( p,r) 中的最优方案，于是 y 必然不在预算集合 ( p,r) 中，即 py  r (如图 3-6 所示)。 对每个 t [0,1] ，令 f (t) = (1− t) px + tpy ，则定义了闭区 间 [0,1] 上的连续函数 f (t) ，且 f (0) = px  r  py = f (1) 。从 连续函数介值定理可知，存在 t[0,1] 使得 f (t) = r 。令 z = (1− t)x + t y ，则 z X , pz = (1− t) px + t py = f (t) = r , 从而 z( p,r) 。注意， y  x 且 是凸偏好，因此 z  x ，这 与 x 是 ( p,r) 中的最优方案相矛盾。可见 px  r 不能成立， 即只有 px = r 。 三、需求映射 马歇尔需求的存在性和唯一性告诉我们，对于理性消费者来说，即在假设 HC 和假设 HP 下， 对于任何的 ( p,r) , 都有唯一的方案 ( p,r)D( p,r) 与之对应，即 D( p,r) ={( p,r)} 。这 就定义了一个从价格收入集合  到消费集合 X 的映射  : → X ，称这个映射  为消费者的马 歇尔需求映射，简称为需求映射。 把 ( p,r) 写成分量形式： ( , ) ( ( , ), ( , ), , ( , )) 1 2 p r p r p r p r  =      ，便得到定义在  上的  个函数 ( p,r) (i =1,2,  , )  i ，称这些函数为消费者的马歇尔需求函数，简称为需求函数。 要确定需求映射，假设 HC 和假设 HP 是必需的。不严格地说，马歇尔需求映射的确定几 乎等同说偏好关系是严格凸的。如果马歇尔需求落在消费集合内部，即对任何 ( p,r) ，都 有 D( p,r)  int X ，那么马歇尔需求映射的确定就几乎等同于偏好的内部严格凸性。 注意，对于任何实数 t  0， (tp,tr) = ( p,r) ，即把价格和收入按照同一比例扩大或缩 小时，预算集合不变。因此，相应的马歇尔需求也就不变。这个给出了需求映射的如下性质： 定理(需求映射的零阶齐次性). 对任何 ( p,r) 及实数 t  0 ，都有 (t p,tr) =( p,r) 。 再从前面关于马歇尔需求结清性的讨论可知，需求映射还具有人们通常所说的瓦尔拉性 质，即收支平衡。这种性质，也叫做需求映射的瓦尔拉法则。 定理(需求映射的瓦尔拉法则). 对任何 ( p,r) ， 都有 p( p,r) = pr ，即收支平衡。 四、间接效用函数 马歇尔需求 ( p,r) 是消费者在价格体系 p 和收入水平 r 下必然选择的消费方案，代表着 由价格体系 p 和收入 r 确定的效用水平(即消费者生活水平)。这样，当价格与收入发生变化时， 消费者生活水平就跟着发生变化。间接效用函数 u 就是反映消费者生活水平同价格和收入之 间的关系的函数，它通过(直接)效用函数 u 和需求映射  来定义：对于任何 ( p,r) ， u( p,r) = u(( p,r)) 通过研究间接效用函数，我们可掌握消费者生活水平随价格和收入的变化规律。以后在 讨论消费最优化的实现问题和研究需求变动规律的时候，间接效用函数将会进一步提及。 第五节 支出最小化 y · · z x · 预算线 图 3-6 证明思路的直观意义