三章理性消费者 的定理作出了肯定的回答 定理(马歇尔需求的存在性).如果消费集合X是下有界非空闭集,并且消费者偏好<是 连续的,则对任何价格体系p>0及收入r≥I(p),都有D(p,r)≠φ(即马歇尔需求集合非 空)。从而理性消费者的马歇尔需求存在。 从此定理可见,R(的子集△={(p,r)∈R×R:(p>0)∧(r≥1(p)}是由那些使马歇 尔需求集合非空的价格一收入组合构成的集合,因此称这个集合为价格收入集合,它对研究 马歇尔需求具有重要意义,而且今后将会经常用到它。集合△的内部A也是很重要的,今后 也将会多次用到。鉴于此,本书中,符合Δ和A°具有这里的专门意义: △={(p,r)∈R×R:(p>0)A(r≥I(p)} △={(p,r)∈R×R:(P>0)A(r>(p)} 现在,我们来看一看这个定理成立的必然性。从第二节对于理性消费者特点的讨论可知, 理性消费者在消费集合的任何有界闭子集中都有满足。注意,对于价格体系p>0及收入 r≥I(p),预算集合B(p,r)是消费集合X的非空有界闭子集,因而消费者在这个集合中必有 满足,这就是说马歇尔需求是存在的。 我们还可以从效用函数的角度来看需求的存在性。既然≤是连续偏好,根据效用函数存 在定理,存在=的连续效用函数u(x)。需求向量是预算集合B(p,r)中效用最大的商品向量, 即是效用函数u在B(p,)中的最大值点。在R的非空有界闭子集中有定义的连续函数必有 最大值,而B(p,r)确实是R的有界非空闭子集,u又是连续的且在B(P,r)中有定义,于 是,u在B(p,r)中的最大值点必存在,即马歇尔需求集合是非空的 知道马歇尔需求存在以后,如果还能知道马歇尔需求是唯一的,那么效用最大化问题的 解决就可谓圆满。下面定理回答了马歇尔需求的唯一性问题。 定理(马歇尔需求的唯一性).如果消费者偏好、严格凸,则对任何价格向量p和收入r D(P,r)都是单点集或空集;如果-是内部严格凸的,则对价格向量p和收入r,当 D(p,r) c int x时,D(p,r)是单点集或空集。因此,理性消费者的马歇尔需求是唯的。 证明:对于任意给定的价格一收入(P,r),如果D(p,r)是空集,则定理结论已经得证。 因此,我们假定D(p,r)非空。用反证法,假定D(p,r)不是单点集,即假定D(p,r)中有两种 不同的消费方案x和y,那么这两种方案必然无差异,即x~y。令z=0.5x+0.5y,则 ∈B(p,r),且从偏好的严格凸性可知,z比x和y都优。这与x和y是预算集合B(p,r)中的 最优方案相矛盾。矛盾的结论说明,D(p,r)只能是单点集。 马歇尔需求的另外一条性质由下述定理给出 定理(马歇尔需求的结清性).设-是无满足的凸偏好,则对任何(P,r)∈Δ及x∈D(p,r) 都有px=r(此种情况可写作pD(p,r)=r)即马歇尔需求实现了消费者的收支平衡 本定理说明,在消费者欲望无止境的情况下,消费者只有把他的收入全部用于消费, 能获得最大限度的满足。否则,就实现不了效用最大化。 下面证明本定理。设x∈D(P,r)是任意给定的方案,欲证px=r。采用反证法,假定第三章 理性消费者 42 的定理作出了肯定的回答。 定理(马歇尔需求的存在性). 如果消费集合 X 是下有界非空闭集，并且消费者偏好 是 连续的，则对任何价格体系 p  0 及收入 r  I( p) , 都有 D( p,r) Φ （即马歇尔需求集合非 空)。从而理性消费者的马歇尔需求存在。 从此定理可见， +1 R 的子集  ={( p,r)R  R: ( p  0)  (r  I( p))}  是由那些使马歇 尔需求集合非空的价格—收入组合构成的集合，因此称这个集合为价格收入集合，它对研究 马歇尔需求具有重要意义，而且今后将会经常用到它。集合  的内部   也是很重要的，今后 也将会多次用到。鉴于此，本书中，符合  和   具有这里的专门意义：  ={( p,r)R  R: ( p  0)  (r  I( p))}   ={( p,r)R  R: ( p  0)  (r  I( p))}   现在，我们来看一看这个定理成立的必然性。从第二节对于理性消费者特点的讨论可知， 理性消费者在消费集合的任何有界闭子集中都有满足。注意，对于价格体系 p  0 及收入 r  I( p) ，预算集合 ( p,r) 是消费集合 X 的非空有界闭子集，因而消费者在这个集合中必有 满足，这就是说马歇尔需求是存在的。 我们还可以从效用函数的角度来看需求的存在性。既然 是连续偏好，根据效用函数存 在定理，存在 的连续效用函数 u(x) 。需求向量是预算集合 ( p,r) 中效用最大的商品向量， 即是效用函数 u 在 ( p,r) 中的最大值点。在  R 的非空有界闭子集中有定义的连续函数必有 最大值，而 ( p,r) 确实是  R 的有界非空闭子集， u 又是连续的且在 ( p,r) 中有定义，于 是， u 在 ( p,r) 中的最大值点必存在，即马歇尔需求集合是非空的。 知道马歇尔需求存在以后，如果还能知道马歇尔需求是唯一的，那么效用最大化问题的 解决就可谓圆满。下面定理回答了马歇尔需求的唯一性问题。 定理(马歇尔需求的唯一性). 如果消费者偏好 严格凸，则对任何价格向量 p 和收入 r ， D( p,r) 都是单点集或空集；如果 是内部严格凸的，则对价格向量 p 和收入 r ，当 D( p,r)  int X 时， D( p,r) 是单点集或空集。因此，理性消费者的马歇尔需求是唯一的。 证明：对于任意给定的价格—收入 ( p,r) ，如果 D( p,r) 是空集，则定理结论已经得证。 因此，我们假定 D( p,r) 非空。用反证法，假定 D( p,r) 不是单点集，即假定 D( p,r) 中有两种 不同的消费方案 x 和 y ，那么这两种方案必然无差异，即 x y 。令 z = 0.5x + 0.5y ，则 z( p,r) ，且从偏好的严格凸性可知， z 比 x 和 y 都优。这与 x 和 y 是预算集合 ( p,r) 中的 最优方案相矛盾。矛盾的结论说明， D( p,r) 只能是单点集。 马歇尔需求的另外一条性质由下述定理给出。 定理(马歇尔需求的结清性). 设 是无满足的凸偏好，则对任何 ( p,r) 及 xD( p,r) , 都有 px = r （此种情况可写作 pD( p,r) = r ），即马歇尔需求实现了消费者的收支平衡。 本定理说明，在消费者欲望无止境的情况下，消费者只有把他的收入全部用于消费，才 能获得最大限度的满足。否则，就实现不了效用最大化。 下面证明本定理。设 xD( p,r) 是任意给定的方案，欲证 px = r 。采用反证法，假定