三章理性消费者 支出最小化是指消费者在保证不降低生活水平的前提下谋求消费支出达到最少。显然,这种 行为也是一种符合理性的行为,是消费最优化的体现。希克斯从支出最小化出发,分析了消 费者的选择,给出了今天称谓的希克斯需求概念。本节就来讨论支出最小化问题。 、支出约束 当消费者面临一种消费方案时,他常常会作这样的考虑:只要效用不降低,支出越少就 越好。这就是说,消费者首先确定一个效用水平,然后在不低于这个效用水平的前提下使消 费支出达到最小。这种做法的道理在于货币也是一种具有效用的“商品”,支付货币相当于支 付效用。以货币换商品,相当于以效用换效用。因此,以较少的效用换得较多的效用,是理 性人活动的一种自然现象 按照支出最小化的思路,我们来分析一下消费者的选择。假定消费者目前面对的消费方 案为x∈X,商品的价格体系为p,从而按照方案x进行消费的货币支出为px。如果说还有 另外一种消费方案y∈X,按照y消费不但比按x消费的支出少,而且能让消费者得到不比x 低的满足程度(即y≥x),那么消费者自然会把他的选择从x调整为y。如果对于y,还能作 类似的调整,那么消费者就会继续调整消费计划。而且这样的调整,会一直进行到不能调整 为止。在这种调整过程中,集合E(x)={y∈X:y≥x}限定了调整选择的范围。这个集合也就 称为消费者在x处的支出集合;条件y≥x叫做消费者在x处受到的支出约束。支出约束条件 y≥x也可写成 ∈E(x) 、希克斯需求 在价格体系P下,支出集合E(x)上的最小支出记作e(P,x),可写成 e(p, x)=inf(py: yEE(x)) 在价格p不变且x所在的效用水平也不变的情况下,x的变化不会改变支出集合,从而不会改 变e(P,x)的值。这就是说,e(p,x)是随着价格和效用水平的变化而变化的量。只要x~y,就 有以(p,x)=e(p,y)。因此,e(p,x)实际上是价格p和效用水平[x]的函数,称这个函数为消费 者的支出函数。 e(p,x)的定义告诉我们,e(p,x)是价值函数py在支出集合E(x)上的最小值。严格地讲 这种说法不够准确。要使说法准确,支出集合E(x)中就必须有一个价值等于e(p,x)的商品向 量z,即价值函数py在支出集合E(x)中的最小值点必须存在。这个最小值点,就是希克斯从 支出最小化出发得到的消费者需求,称为消费者在价格体系p下和效用水平[x上的希克斯需 求(向量)。显然,给定价格体系P和效用水平区x]后,相应的希克斯需求不见得存在,即使存 在,也不见得唯一。鉴于此,我们用H(p,x)表示消费者在价格体系P下和效用水平[x上的 希克斯需求向量的全体,称为希克斯需求集合。即 H(p,x)={=∈E(x):(vy∈E(x)Py≥p)} H(p,x)不一定非空,也不一定是单点集。但当H(p,x)≠④时,H(p,x)中每个方案的支 出都等于e(P,x),此时可写作pH(p,x)=e(P,x)。 当e(p,x)=I(p),即消费支出e(p,x)已经是消费集合X上的最低支出时,支出就不能再 变小,因而无法同更低支出水平的消费进行比较,支出最小化也就意义不大了。所以,通常 考虑支出最小化问题时,总要假定当前支出不是X上的最低支出,即要求e(P,x)>I(p)第三章 理性消费者 44 支出最小化是指消费者在保证不降低生活水平的前提下谋求消费支出达到最少。显然，这种 行为也是一种符合理性的行为，是消费最优化的体现。希克斯从支出最小化出发，分析了消 费者的选择，给出了今天称谓的希克斯需求概念。本节就来讨论支出最小化问题。 一、支出约束 当消费者面临一种消费方案时，他常常会作这样的考虑：只要效用不降低，支出越少就 越好。这就是说，消费者首先确定一个效用水平，然后在不低于这个效用水平的前提下使消 费支出达到最小。这种做法的道理在于货币也是一种具有效用的“商品”，支付货币相当于支 付效用。以货币换商品，相当于以效用换效用。因此，以较少的效用换得较多的效用，是理 性人活动的一种自然现象。 按照支出最小化的思路，我们来分析一下消费者的选择。假定消费者目前面对的消费方 案为 x X ，商品的价格体系为 p ，从而按照方案 x 进行消费的货币支出为 px 。如果说还有 另外一种消费方案 y X ，按照 y 消费不但比按 x 消费的支出少，而且能让消费者得到不比 x 低的满足程度（即 y x ），那么消费者自然会把他的选择从 x 调整为 y 。如果对于 y ，还能作 类似的调整，那么消费者就会继续调整消费计划。而且这样的调整，会一直进行到不能调整 为止。在这种调整过程中，集合 E(x) ={y X : y x} 限定了调整选择的范围。这个集合也就 称为消费者在 x 处的支出集合；条件 y x 叫做消费者在 x 处受到的支出约束。支出约束条件 y x 也可写成： yE(x) 二、希克斯需求 在价格体系 p 下，支出集合 E(x) 上的最小支出记作 e( p, x) ，可写成： e( p, x) = inf{ py: yE(x)} 在价格 p 不变且 x 所在的效用水平也不变的情况下， x 的变化不会改变支出集合，从而不会改 变 e( p, x) 的值。这就是说， e( p, x) 是随着价格和效用水平的变化而变化的量。只要 x y ，就 有 e( p, x) = e( p, y) 。因此， e( p, x) 实际上是价格 p 和效用水平 [x] 的函数，称这个函数为消费 者的支出函数。 e( p, x) 的定义告诉我们， e( p, x) 是价值函数 py 在支出集合 E(x) 上的最小值。严格地讲， 这种说法不够准确。要使说法准确，支出集合 E(x) 中就必须有一个价值等于 e( p, x) 的商品向 量 z ，即价值函数 py 在支出集合 E(x) 中的最小值点必须存在。这个最小值点，就是希克斯从 支出最小化出发得到的消费者需求，称为消费者在价格体系 p 下和效用水平 [x] 上的希克斯需 求(向量)。显然，给定价格体系 p 和效用水平 [x] 后，相应的希克斯需求不见得存在，即使存 在，也不见得唯一。鉴于此，我们用 H( p, x) 表示消费者在价格体系 p 下和效用水平 [x] 上的 希克斯需求向量的全体，称为希克斯需求集合。即 H( p, x) ={zE(x):(yE(x))(py  pz)} H( p, x) 不一定非空，也不一定是单点集。但当 H( p, x) Φ 时， H( p, x) 中每个方案的支 出都等于 e( p, x) ，此时可写作 pH( p, x) = e( p, x) 。 当 e( p, x) = I( p) ，即消费支出 e( p, x) 已经是消费集合 X 上的最低支出时，支出就不能再 变小，因而无法同更低支出水平的消费进行比较，支出最小化也就意义不大了。所以，通常 考虑支出最小化问题时，总要假定当前支出不是 X 上的最低支出，即要求 e( p, x)  I( p)