三章理性消费者 定理(希克斯需求的存在性).设消费集合X是下有界非空闭集,=是连续的偏好,则对任 何价格向量p>0及任何x∈X,都有H(p,x)≠φ即希克斯需求集合非空)。从而理性消费 者的希克斯需求是存在的 这是因为对于p>0及x∈X,集合B={y∈E(x):py≤px是R的非空有界闭集,从而 是紧集。价值函数py在B上连续,从而在B中的最小值必然存在,这个最小值显然也是py在 整个支出集合E(x)上的最小值,其最小值点就是价格体系p和效用水平[x上的希克斯需求 因此H(p,x)非空。 定理(希克斯需求的唯一性).设消费集合X是凸集,≤是连续的严格凸偏好,则对于符 合条件e(p,x)>(p)的任何价格体系p∈R和消费向量x∈X,希克斯需求集合H(p,x)中最 多只有一种消费方案。因此,理性消费者的希克斯需求是唯一的 证明:设p∈R和x∈X是任意给定的满足条件以(p,x)>(p)的价格体系和消费向量, 欲证H(p,x)中至多一个点。用反证法,假定H(p,x)中有两个不同的向量y和y”。则 py'=py"=e(p,x)>l(p),这就说明存在w∈X满足py'=py"=e(p,x)>p。这个w必然 不在E(x)中,即w<x。注意,y≤y”与y"≤y中必然有一个成立,不妨假定y≤y”。令 y=0.5y+0.5y”,则=的严格凸性保证了y<y,从而v<x≤y<y。这样,我们在E(x)中 找到了一种方案y满足:w<xxy且pw<py=e(p,x)(如图3-7所示) 设u为≤的一个连续效用函数(这样的效用函数一定存在)。定 义函数f:[0,1→R如下:f()=u(ty+(1-D))(t∈[O,1),则f 是连续函数,并且f(O)=u(w)<l(x)<u(y)=f(1)。根据连续函数 的介值定理,存在A∈(O,1)满足f()=(x)。令=小+(1-A)n 则u(-)=f()=(x),即z~x,从而二∈E(x)。 注意,p=y+(1-A)pw<py+(1-4)py=py=e(p,x), 这与c(P,x)是E(x)上的最小支出相矛盾。可见,H(P,x)中不可能 有两个不同的向量,即H(p,x)中最多只有一个点。 图3-7证明思路的几何直观 定理(希克斯需求的效用水平不变性).设消费集合X是凸集,偏好关系≤是连续的,则 对于符合条件e(p,x)>(p)的任何价格体系p∈R和消费向量x∈X,希克斯需求集合 H(P,x)中的每种消费方案都与x无差异,即H(P,x)c[x] 证明:本定理的证明思路与上一定理类似,故这里简要说明之。设y∈H(p y~x。用反证法,假定yx。既然y≥x,因此必然y>x。 e(p,x)>I(p)保证了存在w∈X满足pw<e(p,x)=py,进而w<x<y。与上一定理 证明中寻找z的方法相同,这里同样可以找到一个∈X满足zNx且p<py=e(p,x)。这 样一来,就在E(x)中找到了一个支出比E(x)上的最小支出还要小的方案z,这是不可能的 因此,yox不会成立,即只有y~x成立 定理(支出函数的效用性质).设消费集合ⅹ满足假设C,偏好连续,价格向量p>0 X(p)={x∈X:e(p,x)>I(p}。则对任何x,y∈X(p),x=y当且仅当e(p,x)≤e(p,y)。因 此,支出函数可以看成是货币度量的效用函数 证明:任意给定x,y∈X(p)。显然,若x~y,则e(p,x)=e(p,y)。下面讨论x<y时 的情形。此时,显然有e(p,x)≤e(p,y)。从希克斯需求的存在性定理知,H(p,x)和H(p,y) 都非空。从H(p,x)中取出一个方案,再从H(p,y)中取出一个方案w,则希克斯需求的 效用水平不变性说明z~x及w~y,因此x<。注意,p=e(p,x)及pw=e(p,y)。假如 e(p,x)=e(p,y),那么必然w∈H(p,x)(因为w∈E(y)sE(x)且pw=e(p,y),从而第三章 理性消费者 45 定理(希克斯需求的存在性). 设消费集合 X 是下有界非空闭集， 是连续的偏好，则对任 何价格向量 p  0 及任何 x X ，都有 H( p, x) Φ (即希克斯需求集合非空)。从而理性消费 者的希克斯需求是存在的。 这是因为对于 p  0 及 x X ，集合 B ={yE(x): py  px} 是  R 的非空有界闭集，从而 是紧集。价值函数 py 在 B 上连续，从而在 B 中的最小值必然存在，这个最小值显然也是 py 在 整个支出集合 E(x) 上的最小值，其最小值点就是价格体系 p 和效用水平 [x] 上的希克斯需求， 因此 H( p, x) 非空。 定理(希克斯需求的唯一性). 设消费集合 X 是凸集， 是连续的严格凸偏好，则对于符 合条件 e( p, x)  I( p) 的任何价格体系  pR 和消费向量 x X ，希克斯需求集合 H( p, x) 中最 多只有一种消费方案。因此，理性消费者的希克斯需求是唯一的。 证明：设  pR 和 x X 是任意给定的满足条件 e( p, x)  I( p) 的价格体系和消费向量， 欲证 H( p, x) 中至多一个点。用反证法，假定 H( p, x) 中有两个不同的向量 y  和 y  。则 py  = py  = e( p, x)  I( p) ，这就说明存在 w X 满足 py  = py  = e( p, x)  pw 。这个 w 必然 不在 E(x) 中，即 w x 。注意， y  y  与 y  y  中必然有一个成立，不妨假定 y  y  。令 y = 0.5y  + 0.5y  ，则 的严格凸性保证了 y   y ,从而 w x y   y 。这样，我们在 E(x) 中 找到了一种方案 y 满足： w  x  y 且 pw py = e( p, x) (如图 3-7 所示)。 设 u 为 的一个连续效用函数(这样的效用函数一定存在）。定 义函数 f :[0,1]→ R 如下： f (t) = u(t y + (1− t)w) (t [0,1]) , 则 f 是连续函数,并且 f (0) = u(w)  u(x)  u(y) = f (1) 。根据连续函数 的介值定理，存在  (0,1) 满足 f () = u(x) 。令 z = y + (1− )w， 则 u(z) = f () = u(x) ，即 z x ，从而 zE(x) 。 注意， pz = py + (1− ) pw py + (1− ) py = py = e( p, x)， 这与 e( p, x) 是 E(x) 上的最小支出相矛盾。可见， H( p, x) 中不可能 有两个不同的向量，即 H( p, x) 中最多只有一个点。 定理(希克斯需求的效用水平不变性). 设消费集合 X 是凸集，偏好关系 是连续的，则 对于符合条件 e( p, x)  I( p) 的任何价格体系  pR 和消费向量 x X ，希克斯需求集合 H( p, x) 中的每种消费方案都与 x 无差异，即 H( p, x) [x]。 证明：本定理的证明思路与上一定理类似，故这里简要说明之。设 yH( p, x) ，欲证 y x 。用反证法，假定 y x 。既然 y x ，因此必然 y  x 。 e( p, x)  I( p) 保证了存在 w X 满足 pw e( p, x) = py ，进而 w  x  y 。与上一定理 证明中寻找 z 的方法相同，这里同样可以找到一个 z X 满足 z x 且 pz  py = e( p, x) 。这 样一来，就在 E(x) 中找到了一个支出比 E(x) 上的最小支出还要小的方案 z ，这是不可能的。 因此， y x 不会成立，即只有 y x 成立。 定理(支出函数的效用性质). 设消费集合 X 满足假设 HC,偏好 连续，价格向量 p  0 ， X( p) ={x X : e( p, x)  I( p)}。则对任何 x, y X( p) ， x y 当且仅当 e( p, x)  e( p, y) 。因 此，支出函数可以看成是货币度量的效用函数。 证明：任意给定 x, y X( p) 。显然，若 x y ，则 e( p, x) = e( p, y) 。下面讨论 x  y 时 的情形。此时，显然有 e( p, x)  e( p, y) 。从希克斯需求的存在性定理知， H( p, x) 和 H( p, y) 都非空。从 H( p, x) 中取出一个方案 z ，再从 H( p, y) 中取出一个方案 w ，则希克斯需求的 效用水平不变性说明 z x 及 w y ，因此 z w 。注意， pz = e( p, x) 及 pw= e( p, y) 。假如 e( p, x) = e( p, y) ，那么必 然 wH( p, x) ( 因为 wE(y)  E(x) 且 pw= e( p, y) ) ，从而 x y  • 支出线 y • z y  • • w 图 3-7 证明思路的几何直观