三章理性消费者 w~x(希克斯需求的效用不变性),结果z~w,这与z<相矛盾。可见,e(p,x)=e(p,y) 不能成立。这就说明,只有e(p,x)<e(p,y) 同理可证,当x>y时,e(p,x)>e(p,y)。于是,x≤y当且仅当e(p,x)≤e(p,y) 、希克斯需求映射 希克斯需求的存在性和唯一性说明,理性消费者的希克斯需求集合H(P,x)确定了一个从 集合△B={(P,x)∈RxX:(P>0)(e(p,x)>(p)到消费集合X的映射hp,x):对于任 何的(p,x)∈△H,H(p,x)={h(p,x)}(即h(p,x)是单点集H(p,x)的唯一元素)。称这个映射 h:△n→X为消费者的希克斯需求映射。该映射的每一个分量函数h(P,x),称为消费者的 希克斯需求函数,即H(P,x)=(h1(P,x)h2(P,x)…,h2(p,x) 集合△n同集合△和△一样,也具有重要意义,因此符号△在本书中也为专用符号 △H={(P,x)∈RxX:(P>0)∧(e(D,x)>I(P)} 理性消费者的希克斯需求映射h:△n→X具有如下几条重要性质。 性质1(关于价格的零阶齐次性).对任何(P,x)∈△及实数t>0,都有h(,x)=h(p,x) 这是因为价值函数py和ψy在E(x)上具有相同的最小值点。所以,各种商品价格按同 比例变化,不会影响希克斯需求 性质2.对于任何价格向量p>0及消费方案x,y∈X(p)={x∈X:c(p,x)>(p)}, x=y当且仅当(p,x)=h(p,y) 本性质来自于支出函数的效用性质 性质3(比较静态).对任何(P,x)∈Δn和(q,x)∈△,都有(p-q(h(p,x)-h(q,x)≤0 证明:注意,hp,x)和hq,x)都在E(x)中。于是我们得到: ph(p,x)≤plh(q,x) (1) qhq,x)≤qh(p,x) 2) 用(1)式左边减去(2)式右边,同时用(1)式右边减去(2)式左边,则可得到: (p-gh(p, x)s(p-qhq, x) 因此 )H(P,x)-h(q,x))≤0 这条性质说明,在保持效用水平不变的情况下,希克斯需求的变化方向同价格变化方向 相反(即价格变化方向与希克斯需求变化方向的夹角为钝角)。当只有一种商品的价格发生变 化时,该种商品的希克斯需求量就随价格的升高(降低)而减少(增加) 第六节消费者均衡 消费最优化有两层含义,一是效用最大化,另一是支出最小化。本节首先讨论这两层含 义之间的关系,即效用最大化与支出最小化之间的对偶性。然后讨论消费者均衡的实现条件。 本节的大部分讨论都将在假设HC、假设HP和假设出成立的前提下进行,并且还要假定均衡 在消费集合内部实现。这样做仅仅是为了讨论上的方便 、效用与支出的对偶第三章 理性消费者 46 w x (希克斯需求的效用不变性)，结果 z w ，这与 z w 相矛盾。可见， e( p, x) = e( p, y) 不能成立。这就说明，只有 e( p, x)  e( p, y)。 同理可证，当 x  y 时， e( p, x)  e( p, y) 。于是， x y 当且仅当 e( p, x)  e( p, y)。 三、希克斯需求映射 希克斯需求的存在性和唯一性说明，理性消费者的希克斯需求集合 H( p, x) 确定了一个从 集合 {( p, x) R X : ( p 0) (e( p, x) I( p))}  H =       到消费集合 X 的映射 h( p, x) ：对于任 何的 H ( p, x) ，H( p, x) ={h( p, x)} （即 h( p, x) 是单点集 H( p, x) 的唯一元素）。称这个映射 h :  H → X 为消费者的希克斯需求映射。该映射的每一个分量函数 h ( p, x) i ，称为消费者的 希克斯需求函数，即 ( , ) ( ( , ), ( , ), , ( , )) 1 2 h p x h p x h p x h p x =   。 集合  H 同集合  和   一样，也具有重要意义，因此符号  H 在本书中也为专用符号： {( p, x) R X : ( p 0) (e( p, x) I( p))}  H =       理性消费者的希克斯需求映射 h :  H → X 具有如下几条重要性质。 性质 1(关于价格的零阶齐次性). 对任何 H ( p, x) 及实数 t  0 ，都有 h(tp, x) = h( p, x) 。 这是因为价值函数 py 和 tpy 在 E(x) 上具有相同的最小值点。所以，各种商品价格按同一 比例变化，不会影响希克斯需求。 性质 2. 对于任何价格向量 p  0 及消费方案 x, y X( p) ={x X : e( p, x)  I( p)} ， x y 当且仅当 h( p, x) h( p, y) 。 本性质来自于支出函数的效用性质。 性质 3(比较静态). 对任何 H ( p, x) 和 H (q, x) ，都有 ( p − q)(h( p, x) − h(q, x))  0 。 证明：注意， h( p, x) 和 h(q, x) 都在 E(x) 中。于是我们得到： ph( p, x)  ph(q, x) （1） qh(q, x)  qh( p, x) （2） 用(1)式左边减去(2)式右边，同时用(1)式右边减去(2)式左边，则可得到： ( p − q)h( p, x)  ( p − q)h(q, x) 因此， ( p − q)(h( p, x) − h(q, x))  0 。 这条性质说明，在保持效用水平不变的情况下，希克斯需求的变化方向同价格变化方向 相反(即价格变化方向与希克斯需求变化方向的夹角为钝角)。当只有一种商品的价格发生变 化时，该种商品的希克斯需求量就随价格的升高(降低)而减少(增加)。 第六节 消费者均衡 消费最优化有两层含义，一是效用最大化，另一是支出最小化。本节首先讨论这两层含 义之间的关系，即效用最大化与支出最小化之间的对偶性。然后讨论消费者均衡的实现条件。 本节的大部分讨论都将在假设 HC、假设 HP 和假设 HU 成立的前提下进行，并且还要假定均衡 在消费集合内部实现。这样做仅仅是为了讨论上的方便。 一、效用与支出的对偶