对賣米分布求导可E-E,c (E-E,Vk,T 2、 Sommerfeld积分 I=L H(E)f(e)da 进行变量替换,x=(E-EF)kBT ·常通这样的积分,引入画数(E)=H(d kDE缸x2 +1 作分解积分1=o( 低温时,可将积分下限推至负无穷大,得 ·上武第一项为零。第二项中-d川dE为 处的类δ函数,宽度约kBT,是(EEF 数,可作近似计算,将Q(E展开到二 于是宁“号四÷自号 得到 Q()=QE)+(-E)(E)+(E-E1)Q"(E) 与前面的估计比较C=Mk 利用如+,则得,=0)50从 hmp:0.45.24.132/-igche 学 p45.24132gche c体理学 3、费米能级(T<T)=E)+6(Ek7 化学势随温度的变化N=CDf(EEdE 对于N=Cf(E)D(EME H(e)=D(E) T≠0K,kBT<EF T=OK O(E)= H(ee=C D(ele=Cl vEdE=CE N=3cE3(2//~>M=2cy g(E)=CE- T/E E≈EF1 Er< N=2c(" (E "=E 1+o(aT/,) 化学势随湿度变化 利用kBT<<EF Ee1-7kaTIEp) 所以室温下,与绝对温度零度时 的费米能级非常近 htp:/0.45.24.132// 物学 http:/10.45.24./chey 体理学 4、总能量(T<T)H(e)=aD(e U=Lf(ED(EEdE T≠0K,kT<<EF T=OK 2E U=2CErVE (,I 与定性的结 定性的解释是正确的,即 低温kT<<EF 果仅差常数 只有Perm面附近的电于被 因子 被激发的电子能量与估计值比较 (T/TkBT htp:0.45.24.132/gci 即加45.24132che 炸物理学2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 • 对费米分布求导 ( ) ( ) [ ]2 / / 2 B F 1 F B F B + − = ∂ ∂ − − E E k T E E k T e e k T E E T f • 进行变量替换，x = (E − EF )/ kBT ( ) ∫ ∞ − + = E k T x x V e e C k TD E dxx F B / 2 2 F 2 B el 1 ( ) • 低温时，可将积分下限推至负无穷大，得 ( ) 1 3 2 2 2 π = + ∫ ∞ −∞ x x e e dxx F B 2 F 2 B 2 F 2 B 2 el 2 2 3 3 ( ) 3 T T N Nk E CV k TD E k T π π π = = = • 于是 • 与前面的估计比较 F B el T T C Nk V ≈ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 2、Sommerfeld积分 • 常遇这样的积分，引入函数 ∫ ∞ = 0 I H(ε ) f (ε )dε ∫ = E Q E H d 0 ( ) (ε ) ε • 作分部积分 ∫ ∞ ∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = + − 0 0 ( ) ( ) ( ) ε ε ε ε ε d f I Q f Q • 上式第一项为零。第二项中-df/dE为中心在EF 处的类δ函数，宽度约kBT，是(E-EF)的偶函 数，可作近似计算，将Q(E)展开到二级近似， 得到 ( ) ( ) ''( ) 2 1 ( ) ( ) '( ) F 2 Q ε = Q EF + ε − EF Q EF + ε − EF Q E ( ) ( )2 F B 2 F 2 2 2 "( ) 6 ( ) 1 3 I Q E Q E k T e e dxx x x π π = = + + ∫ ∞ −∞ 利用 ，则得， http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 3、费米能级(T<<TF) H( ) ε = D(ε ) ( ) () () 3/2 0 0 0 3 2 Q E H d D d C d CE E E E = = = = ∫ ∫ ∫ ε ε ε ε ε ε ( ) -1/2 2 1 Q" E = CE ( )2 F B 2 F "( ) 6 I Q(E ) Q E k T π = + ∫ ∞ = 0 • 对于 N f (E)D(E)dE ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + 2 B F 2 3/2 F / 8 1 3 2 I CE k T E π ( ) 3/ 2 0 F 3 2 N = C E ( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + 2 B F 2 3/ 2 F 3/ 2 0 F / 8 E E 1 k T E π ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ≈ − 2 0 B F 2 0 F F / 12 E E 1 k T E π • 利用kBT<<EF http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 化学势随温度的变化 • 化学势随温度变化 * 因为TF=104~105，所以室温下，与绝对温度零度时 的费米能级非常接近 ∫ ∞ = 0 N C f (E) EdE BT EF T ≠ 0K, k << T = 0K ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + 2 F B 2 3/ 2 F 8 1 3 2 E k T N CE π ( )3/ 2 0 F 3 2 N = C E ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≈ − 2 F 2 0 F F 12 1 T T E E π 0 EF < EF http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 4、总能量(T<<TF) • 被激发的电子能量与估计值比较 ∫ ∞ = 0 U f (E)D(E)EdE BT EF T ≠ 0K, k << T = 0K ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + 5/ 2 2 2 ( / ) 8 5 1 5 2 F BT EF U CE π k 低温 BT EF k << ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ≈ + 2 0 2 0 / 12 5 1 5 3 F BT EF E k N U π 0 5 3 EF N U = U N ( ) T TF kBT 2 / 4 ~ π T T k T N U F B ( / ) 2 ~ H(ε ) () = εD ε http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 F B F B B V V T T Nk E k T Nk T U C 2 2 2 0 2 el π π ⎟ = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = 与定性的结 果仅差常数 因子 定性的解释是正确的，即 只有Fermi面附近的电子被 激发！