第7章刚体力学习题解答 47 第7章刚体力学习题解答 7.1.8桑塔纳汽车时速为166kmh,车轮滚动半径为0.26m,发 72.3长度为L的匀质杆，令其竖直地立于光滑的桌面上，然后 动机转速与驱动轮转速比为0.909，问发动机转速为每分多少转？ 放开手，由于杆不可能绝对沿铅直方向，故随即到下。求杆子的上 解：设车轮半径为R=0.26m,发动机转速为n,驱动轮转速为 端点运动的轨迹（选定坐标系，并求出轨迹的方程式）。 2,汽车速度为v=166km/h。显然，汽车前进的速度就是驱动轮边缘 解：设杆在o-xy平面内运动。因杆 的线速度，v=2π12=2π1，/0.909，所以： 在运动过程中，只受竖直向上的支承力和 竖直向下的重力的作用，在水平方向不受 n-2-2g=9.24x10ev/h=1.54×103ev/mm 外力作用，∴va=0,aa=0,即质心C无水 平方向的移动，只能逆若y轴作加速直线 运动，直到倒在桌面上。 0 7.2.2在下面两种情况下求直圆锥体的总质量和质心位置。(1)圆 取杆的上端点的坐标为xy,匀质杆的质心在其几何中心，由图 锥体为匀质：(2)密度为h的函数：p=p。(1-hL),po为正常数。 示的任一瞬间的几何关系可知：4x2+y2=L2(x≥0，y≥0) 解：建立图示坐标0-x,据对称性分析， 质心必在x轴上，在x坐标处取一厚为dx 7.3.1(1)用积分法证明：质量为m常为1的匀质细杆对通过中心 的质元dm=p刀k,,a=x/L,r=a/L .dm=p na'x d/L? 且与杆垂直的轴线的转动惯量等于立m：(2)用积分法证明：质量 (1)圆锥体为匀质，即p为常数， 为m半径为R的匀质薄圆盘对通过中心且在盘面内的轴线的转动惯 总质量：m=dm=xk=pmL 量等于：mR2 质心：x。= 证明：(1)取图示坐标，在坐标x处取一线元，dm="水，它 对y轴的转动惯量为：dl=兴x水，三 (2)p=P(1-)=P1-2)=空x 整个细杆对y轴的转动惯量： dx /2 112 总质量：m=∫dm=芒r本=poπaL 1=号∫x2k=号x32=贵（传+的）=立ml2 -12 质心：气告=达=礼 (2)在坐标x处取细杆状质元， dm=0·2√R2-xk=gVR2-x2dk第 7 章刚体力学习题解答 47 第 7 章刚体力学习题解答 7.1.8 桑塔纳汽车时速为 166km/h，车轮滚动半径为 0.26m，发 动机转速与驱动轮转速比为 0.909, 问发动机转速为每分多少转？ 解：设车轮半径为 R=0.26m，发动机转速为 n1, 驱动轮转速为 n2, 汽车速度为 v=166km/h。显然，汽车前进的速度就是驱动轮边缘 的线速度， v = 2 Rn2 = 2 Rn1 / 0.909 ，所以： 9.24 10 / 1.54 10 /min 4 3 2 3.14 0.26 0.909 166 10 2 0.909 1 3 n rev h rev R v = = =  =       7.2.2 在下面两种情况下求直圆锥体的总质量和质心位置。⑴圆 锥体为匀质；⑵密度为 h 的函数：ρ=ρ0（1-h/L）,ρ0 为正常数。 解：建立图示坐标 o-x,据对称性分析， 质心必在 x 轴上,在 x 坐标处取一厚为 dx o r a x 的质元 dm=ρπr 2 dx，∵r/a=x/L，r=ax/L ∴ dm=ρπa 2 x 2 dx/L2 h ⑴圆锥体为匀质，即ρ为常数， 总质量： m dm x dx a L L L a 2 3 1 0 2 2 2   = = =   质心： x x dx L L a L L a x dx L dm xdm c 4 3 0 3 3 / 3 / 2 3 2 3 2 = =  =   =    ⑵ x L L L x L h 0 (1 ) (1 ) 0 0   =  − =  − = − 总质量：   m = dm = x dx = a L L L a 2 4 0 1 0 3 3 2 0     质心：  = =   = L dm L xdm xc x dx L 0 5 4 4 4 4 7.2.3 长度为 L 的匀质杆，令其竖直地立于光滑的桌面上，然后 放开手，由于杆不可能绝对沿铅直方向，故随即到下。求杆子的上 端点运动的轨迹（选定坐标系，并求出轨迹的方程式）。 解：设杆在 o-xy 平面内运动。因杆 y 在运动过程中，只受竖直向上的支承力和 竖直向下的重力的作用，在水平方向不受 外力作用，∴vcx=0,acx=0，即质心 C 无水 平方向的移动，只能逆着 y 轴作加速直线 运动，直到倒在桌面上。 o x 取杆的上端点的坐标为 x,y，匀质杆的质心在其几何中心，由图 示的任一瞬间的几何关系可知：4x2+y2=L2 (x≥0,y≥0) 7.3.1 ⑴用积分法证明：质量为 m 常为 l 的匀质细杆对通过中心 且与杆垂直的轴线的转动惯量等于 2 12 1 ml ；⑵用积分法证明：质量 为 m 半径为 R 的匀质薄圆盘对通过中心且在盘面内的轴线的转动惯 量等于 2 4 1 mR 证明：⑴取图示坐标，在坐标 x 处取一线元， dm dx l m = ，它 对 y 轴的转动惯量为： dI x dx l m 2 = ， 整个细杆对 y 轴的转动惯量： 2 12 1 3 8 8 / 2 / 2 3 3 / 2 / 2 2 | ( ) 3 3 I x dx x ml l l l l m l l m l l l m = = − = + = −  ⑵在坐标 x 处取细杆状质元， dm R x dx R x dx R m R m 2 2 2 2 2 = 2  2 − = 2 −   L x y -l/2 dx l/2 x x R θ