第7章刚体力学习题解答 48 第7章刚体力学习题解答 它对x轴的转动惯量： 平行轴定理 dI=dm(2R-x)=dm(Rx)=(R-x)2 dx L1=立m,12+m,()2=m,l2, I,=m,r2+m,(+r)2 整个圆盘对x轴的转动惯量：1=条j(R2-x2)水 I=m,l2+m,r2+m,(1+r)2 =}×4.9×0.922+×24.5×0.082+24.5(0.92+0.08)2 =26kgm2 为了能求出积分，作如下变换：x=Rcos0,dr=-Rsin0d0 7.3.3在质量为M,半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个 (R2-x2)32=(R2-R2cos203/2=(R2sn2032=R3sin30 圆孔，圆孔中心在半径R的中点，求剩余部分对过大圆盘中心且与 盘面垂直的轴线的转动惯量。 解：大圆盘对过圆盘中心。且与盘面 代入上式：1=0jR3sm0-Rsn0d0)=2gjsn0ad0 垂直的轴线（以下简称o轴）的转动惯量 为1=士MR2.由于对称放置，两个小圆 据三角函数公式：sn'0=1-cos2 2 -cos0=1+cos20 2 盘对。轴的转动惯量相等，设为'，圆盘 ∴.sin40=(=g22)2=1(1-2cos20+cos220) 质量的面密度a=MWπR2,根据平行轴定理， =41-2cos20+±g0)=(号-2cos20+cos40) =2+(axr'=+Mr 设挖去两个小圆盘后，剩余部分对。轴的转动惯量为I” I=(-2cos20+cos40)do =1-2I=MR2-答-h2=MR2-r2-2r1R2) do-codco0 =9 7.3.5一转动系统的转动惯量为1=8.0kgm2,转速为o=41.9rad/s, (号π-sn206+sn406)=mR 两制动闸瓦对轮的压力都为392N,闸瓦与轮缘间的摩擦系数为μ =0.4,轮半径为=0.4m,问从开始制动到静止需多长时间？ 7.3.2图示实验用的摆，1=0.92m=0.08m,m=4.9kgm=24.5kg 解：由转动定理： 近似认为圆形部分为匀质圆盘，长杆部分为匀质细杆。求对过悬点 t=Iβ，B=；=204204=15.68ad/s 且与盘面垂直的轴线的转动惯量。 80 解：摆对0轴的转动惯量1等于杆对0轴的转动 制动过程可视为匀减速转动，B=△0/△1 惯量1，加上圆盘对o轴的转动惯量L,即=l+l,.根据 南瓦第 7 章刚体力学习题解答 48 第 7 章刚体力学习题解答 它对 x 轴的转动惯量： dI dm R x dm R x R x dx R m 2 2 3/ 2 3 2 2 2 3 2 2 2 1 12 1 = (2 − ) = ( − ) = 2 ( − )  整个圆盘对 x 轴的转动惯量：  − = − R R R m I R x dx 2 2 3/ 2 3 2 2 ( )  为了能求出积分，作如下变换： x = Rcos, dx = −Rsin d    2 2 3/ 2 2 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 3 3 (R − x ) = (R − R cos ) = (R sin ) = R sin 代入上式：   = − =          0 4 3 2 0 3 3 3 2 sin ( sin ) sin 2 I 2 R R d d mR R m 据三角函数公式： 2 1 cos 2 , cos 2 1 cos 2 sin 2 2     + = − = (1 2cos 2 ) ( 2cos 2 cos 4 ) sin ( ) (1 2cos 2 cos 2 ) 2 1 2 3 4 1 2 1 cos 4 4 1 2 4 2 1 2 4 1 cos 2         = − + = − +  = = − + + − 2 4 1 8 0 1 2 0 3 6 0 8 1 0 0 2 3 6 2 1 2 3 4 1 3 2 ( sin 2 | sin 4 | ) cos2 2 cos4 4 ( 2cos2 cos4 ) 2 2 2 mR d d d I d mR mR mR = − + =       = − + = − +                        7.3.2 图示实验用的摆，l=0.92m,r=0.08m,ml=4.9kg,mr=24.5kg, 近似认为圆形部分为匀质圆盘，长杆部分为匀质细杆。求对过悬点 且与盘面垂直的轴线的转动惯量。 o 解：摆对 o 轴的转动惯量 I 等于杆对 o 轴的转动 惯量 Il 加上圆盘对 o 轴的转动惯量 Ir，即 I=Il+Ir.根据 平行轴定理 2 2 2 2 2 1 3 1 2 2 2 2 1 3 1 2 2 2 1 2 3 2 1 2 2 12 1 26 4.9 0.92 24.5 0.08 24.5(0.92 0.08) ( ) ( ) ( ) , kgm I m l m r m l r I m r m l r I m l m m l l r r r r r l l l l l = =   +   + + = + + + = + + = + = 7.3.3 在质量为 M，半径为 R 的匀质圆盘上挖出半径为 r 的两个 圆孔，圆孔中心在半径 R 的中点，求剩余部分对过大圆盘中心且与 盘面垂直的轴线的转动惯量。 解：大圆盘对过圆盘中心 o 且与盘面 R 垂直的轴线（以下简称 o 轴）的转动惯量 r r 为 2 2 I = 1 MR .由于对称放置，两个小圆 盘对 o 轴的转动惯量相等，设为 I’，圆盘 质量的面密度σ=M/πR 2，根据平行轴定理， 2 4 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 4 I' ( r )r ( r )( ) M r R R M r =  +  = + 设挖去两个小圆盘后，剩余部分对 o 轴的转动惯量为 I” " 2 ' ( 2 / ) 2 2 4 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 4 I I I MR Mr M R r r R R M r = − = − − = − − 7.3.5 一转动系统的转动惯量为 I=8.0kgm2，转速为ω=41.9rad/s， 两制动闸瓦对轮的压力都为 392N，闸瓦与轮缘间的摩擦系数为μ =0.4，轮半径为 r=0.4m，问从开始制动到静止需多长时间？ 解：由转动定理： I rad s I , 15.68 / 8.0 2 0.4 392 0.4 = = = =        制动过程可视为匀减速转动，  =  / t o l r 闸瓦 闸瓦