Ax→0 于是f’(1)=2,但f’-(1)不存在。 注由以上结果得知此函数在ⅹ=1处不可导 问题3试问函数f(x)在x处不通常通有几种情形? 答(1)函数在这点不连续(例如在问题2中的例子) (2)函数在这点的左、右导数中至少有一个不存在,例如: 0,x≤0 ∫'-(0)=0,f+(0)不存在 (3)左、右导数都在但不相等,例如 f(x)=|x|,f′+(0)=1,f′-(0)=1 §2求导法则 问题1记号f′(g(x))与(f(g(x))′有何区别? 答函数f(g(x))是由函数y=f(u)用g(x)代入后所得的结果,即 (g(x)=f′(u)laea 而(f(g(x)))’是函数f(g(x))=f′(g(x))·g′(x), 因而不能混淆 问题2设f(x)=(x)+中(x),g(x)=ψ(x)若f(x)或g(x)在点x0处可导,则中 (x),中(x)中至少有一个在点x0可导,上述论断是否正确? 答:不正确,若函数中(x),ψ(x)在x处可导,由导数四则运算法则,f(x)=(x)+ψ (x)与g(x)=(x)·ψ(x)在点x都可导。但反之不必然。例如,φ(x)=|x|,ψ(x) x|在x=0处可不导处,但f(x)=(x)+ψ(x)=0,在x=0处可导,g(x)=(x)·ψ(x) 1x||x|=x2在x=0处也可导 问题3设函数f(x)在邻域U(x)内可导,f′(x+0),f′(x0-0)为导函数在点x0的左、 右极限,试问是否成立。 +(x0+0),f′+(x0)是函数f在点x0的右导数,而f′(x0+0)是导函数f′(x)在点x0 处的右极限,即 ∫+(x)lmnf(x+△x)-f(x0) f(x0+0)=m,f(x) 以§1问题2中的函数 为例,它在u(1)中的导函数为 f(xidI 于是f(1+0)如+2x=2(=f+(1)= ) 2 (1 lim 0 x x  + +  → =-∞， 于是 f′+(1)=2，但 f′—（1）不存在。 注由以上结果得知此函数在 x=1 处不可导。 问题 3 试问函数 f（x）在 x0 处不通常通有几种情形？ 答（1）函数在这点不连续（例如在问题 2 中的例子） （2）函数在这点的左、右导数中至少有一个不存在，例如：       =  − =  +  ( )  (0) 0, (0)不存在 , 0 1 sin 0,, 0, f x f f x x x x （3）左、右导数都在但不相等，例如： f（x）=∣x∣,f′+(0)=1,f′-(0)=-1 §2 求导法则 问题 1 记号 f′（g（x））与（f（g（x）））′有何区别？ 答 函数 f（g（x））是由函数 y=f（u）用 g（x）代入后所得的结果，即 f′（g（x））=f′（u）︱u=g(x) 而（f（g（x）））′是函数 f（g（x））=f′（g（x））·g′（x）， 因而不能混淆。 问题 2 设 f（x）=ф（x）+ψ（x），g（x）=ψ（x）若 f（x）或 g（x）在点 x0 处可导，则ф （x），ψ（x）中至少有一个在点 x0 可导，上述论断是否正确？ 答：不正确，若函数ф（x），ψ（x）在 x0 处可导，由导数四则运算法则，f（x）=ф（x）+ψ （x）与 g（x）=ф（x）·ψ（x）在点 x0 都可导。但反之不必然。例如，ф（x）=∣x∣，ψ（x）= —∣x∣在 x=0 处可不导处，但 f（x）=ф（x）+ψ（x）=0，在 x=0 处可导，g（x）=ф（x）·ψ（x） =-∣x∣∣x∣=x 2 在 x=0 处也可导。 问题 3 设函数 f（x）在邻域 U 0（x0）内可导，f′（x0+0），f′（x0-0）为导函数在点 x0 的左、 右极限，试问是否成立。 f′+（x0+0），f′+（x0）是函数 f 在点 x0 的右导数，而 f′（x0+0）是导函数 f′（x）在点 x0 处的右极限，即 , ( ) ( ) ( ) lim 0 0 x f x x f x f x o o x  +  −  + = → +  ( 0 0) ( ) lim 0 f x f x x x  + =  → + 以§1 问题 2 中的函数  , 1 2, 1 2 ( )  = +  x x x x f x 为例，它在 u 0（1）中的导函数为  2 , 1 1, 1 ( )    x x x f x ， 于是 (1 0) 2 2( (1)), lim f  + x→1+ x = = f  +