第三章连续型随机变量 (2)规范性.F(-∞)=limF(x)=0,F(+∞)=limF(x)=1 (3)左连续性.F(x-0)=F(x) 性质(1)的证明是显然的,请读者自己完成.下面证明(2)和(3) 先证明(2),因为0≤F(x)≤1,且F(x)单调,故 lim F(x)=lim F(m) lim F(x)=lim F(n) 都存在,又由概率的完全可加性有 1((0)=01(05n+小m≤50)<n+) im∑P≤5(o)<1+)=lmF(m)-mF(m) N-o r=m 所以必有 F(x)=0,F(x) 成立 再证明(3),因为F(x)是单调有界函数,其任一点的左极限F(x-0)必存在,为证明左 连续,只要对某一列单调上升的数列 x1<x2<…<xa<…,xn→x(n→∞) 明 lim F(x=F(x) 立即可.这时,有 F(x)-F(x)=P(x≤5<x)=P代U[n≤5(o)<xm ∑P(xn≤{(o)<xn)=∑[F(xn)-F(x lim [F(xn 1)-F(xu)]=lm F(xa1)-F(xu) 由此即得 F(x)=lim F(xn-1=F(x-o) 分布函数的三个基本性质已经证毕.反过来还可以证明,任一满足这三个性质的函 数,一定可以作为某个随机变量的分布函数.因此,满足这三个性质的函数通常都称为分 布函数 知道了随机变量ξ(ω)的分布函数F(x),不仅掌握了{5(o)<x}的概率,而且还可 以计算下述概率 P{2(o)≥x}=1-F(x)第三章 连续型随机变量 ·７６· (2) 规范性. F(-  )= x→− lim F(x)=0, F(+  )= x→+ lim F(x)=1; (3) 左连续性.F(x-0)=F(x). 性质(1)的证明是显然的,请读者自己完成.下面证明(2)和(3). 先证明(2),因为 0≤F(x)≤1,且 F(x)单调,故 x→− lim F(x)= m→− lim F(m) x→+ lim F(x)= n→+ lim F(n) 都存在,又由概率的完全可加性有 1=P(-  <  (ω)<+  )=P           + + =−  n n  () n 1 =  ( ) + =−   + n P n () n 1 =  ( ) = →− →+   + n i m m n lim P i () i 1 = n→+ lim F(n)- m→− lim F(m) 所以必有 F(x)=0, F(x)=1 成立. 再证明(3),因为 F(x)是单调有界函数,其任一点的左极限 F(x-0)必存在,为证明左 连续,只要对某一列单调上升的数列 x1<x2<…<xn<…, xn→x(n→ ) 证明 n→+ lim F(xn)=F(x) 成立即可.这时,有 F(x)-F(x1)=P(x1≤  <x)=P  ( )           =  + 1 1 n n n x   x = ( )  =   + 1 1 ( ) n n n P x   x =   = + − 1 1 ( ) ( ) n n n F x F x = n→ lim [F(xn+1)-F(x1)]= n→ lim F(xn+1)-F(x1) 由此即得 F(x)= n→ lim F(xn+1)=F(x-0) 分布函数的三个基本性质已经证毕.反过来还可以证明,任一满足这三个性质的函 数,一定可以作为某个随机变量的分布函数.因此,满足这三个性质的函数通常都称为分 布函数. 知道了随机变量  (ω)的分布函数 F(x),不仅掌握了｛  (ω)<x｝的概率,而且还可 以计算下述概率. P{  (ω)≥x}=1-F(x)