由于等式两边分别是两个变量x和r的函数,所以只有当等式两边都等于同一个常数时等式才成 立。假设此常数为K4,则可得到下列两个方程 dtx -K4X=0 (3) d- K 如果棒中每点都作简谐振动,则上述两方程的通解分别为 jX(x)=a chK'x+a2shKx+ a3 cos Kx+a4 sin Kx IT(=bcos(ot+) 于是可以得出 y(x, t=(a,chKx+a2shKx+a3 cos Kx+a4 sin Kr). bcos(ot +o) 式中 KEJ 式(7)称为频率公式,适用于不同边界条件任意形状截面的试样。如果试样的悬挂点(或支撑 点)在试样的节点,则根据边界条件可以得到 采用数值解法可以得出本征值K和棒长L应满足如下关系 KnL=0,4.730,7.853,10.996,14.137 其中第一个根KL=0对应试样静止状态:第二个根记为KL=4730,所对应的试样振动频率称为基振 频率(基频)或称固有频率,此时的振动状态如图2(a)所示;第三个根K2L=7.853所对应的振动状 态如图2(b)所示,称为一次谐波。由此可知,试样在作基频振动时存在两个节点,它们的位置分 别距端面0.224L和0.776L。将基频对应的K值代入频率公式,可得到杨氏模量为 0.776L 0.224L K1L=4.730 K2L=7853 (a)n=1 2 图2两端自由的棒作基频振动波形和一次谐波振动波形 E=1978×10-325/2-7870×04m, (10) 如果试样为圆棒(d<L,则/≈a,所以式(10)可改写为 64 L3 E=1.6067 (11) 同样,对于矩形棒试样则有4 由于等式两边分别是两个变量x和t的函数，所以只有当等式两边都等于同一个常数时等式才成 立。假设此常数为K 4，则可得到下列两个方程 0 4 4 4 − K X = dx d X （3） 0 4 2 2 + T = S K EJ dt d T  （4） 如果棒中每点都作简谐振动，则上述两方程的通解分别为    = + = + + + ( ) cos( ) ( ) 1 2 3 cos 4 sin T t b t  X x a chKx a shKx a Kx a Kx （5） 于是可以得出 ( , ) ( cos sin ) cos( ) y x t = a1 chKx + a2 shKx + a3 Kx + a4 Kx • b t + （6） 式中 2 1 4         = S K EJ   （7） 式（7）称为频率公式，适用于不同边界条件任意形状截面的试样。如果试样的悬挂点（或支撑 点）在试样的节点，则根据边界条件可以得到 cosKL • chKL = 1 (8) 采用数值解法可以得出本征值K和棒长L应满足如下关系 KnL=0，4.730，7.853，10.996，14.137，…… (9) 其中第一个根K0L=0对应试样静止状态；第二个根记为K1L=4.730，所对应的试样振动频率称为基振 频率（基频）或称固有频率，此时的振动状态如图2（a）所示；第三个根K2L=7.853所对应的振动状 态如图2（b）所示，称为一次谐波。由此可知，试样在作基频振动时存在两个节点，它们的位置分 别距端面0.224L和0.776L。将基频对应的K1值代入频率公式，可得到杨氏模量为 2 3 2 2 4 3 1.9978 10 7.8870 10 f J L m J L S E − − =   =   （10） 如果试样为圆棒(d<<L)，则 64 4 d J  = ，所以式（10）可改写为 2 4 3 1.6067 f d L m E = （11） 同样，对于矩形棒试样则有 (a) n=1 (b) n=2 图 2 两端自由的棒作基频振动波形和一次谐波振动波形