Methods of Mathematical Physics(2016.10) YLMa a Phys. FDU 积分变换简介( ntroduction to integral transforms) 1.积分变换是一种函数之间的用积分表示的变换关系 2.积分变换法是求解某些微分方程的方法。对于常微分方程通过积分变换 可以转化为代数方程或降低方程的阶数;对于偏微分方程,可以消去一个自 变量的微分。 3.积分变换法解微分方程的特点类似对数运算,不直接求未知函数,而是 求变换后未知函数的象,然后通过反演即求得未知函数 4.积分变换的定义:列(P)=K(P,x(xdx(ab可为有限或无穷),其中 K(Px)称为积分变换的核。例如拉普拉斯变换列p2=(x)d的核为 e";傅里叶变換列()=∫co(x)dx的核为em;其它还有汉克尔变换 列(P)=Jnx1(px(x)dx,梅林变换列p)=x-oxdx等等。 5.积分变换的应用:求解常微分方程的初值问题,求解积分方程;求定积 分 LT应用:(1)求解常微分方程的初值问题。(2)求解积分方程。(3)求定积分。 LT特点:以定理形式讲授(但不证明),再例题分析。 、 Laplace变换的定义和基本性质 1.定义:若对于(O,∞)上的函数o(t),下述积分收敛于列(p),即 列(p)=5co)d,则称列(p)为o()的 Laplace变换,记为列(p)4>9(O 引入阶梯函数( Heaviside step function)H()= 0t< 0’那么 p(p)= e O(O)H(odr 2. Laplace变换存在的条件 (i)在区间[0,∞)中,o()和q(t)除具有第一类间断点外都是连续的,而 且在任何有限区间中这种间断点至多只有有限个; 第一类间断点是指在此点t=t不连续,但左极限imo(1)和右极限Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 2 积分变换简介(Introduction to integral transforms) 1．积分变换是一种函数之间的用积分表示的变换关系。 2．积分变换法是求解某些微分方程的方法。对于常微分方程通过积分变换 可以转化为代数方程或降低方程的阶数；对于偏微分方程，可以消去一个自 变量的微分。 3．积分变换法解微分方程的特点类似对数运算，不直接求未知函数，而是 求变换后未知函数的象，然后通过反演即求得未知函数。 4．积分变换的定义： ( ) ( , ) ( )d b a   p K p x x x   （a,b 可为有限或无穷），其中 K(p, x) 称为积分变换的核。例如拉普拉斯变换 0 ( ) ( )d px   p e x x     的核为 px e  ；傅里叶变换 ( ) ( )d ipx   p e x x      的核为 ipx e  ；其它还有汉克尔变换 0 ( ) ( ) ( )d n   p xJ px x x    ，梅林变换 1 0 ( ) ( )d p   p x x x     等等。 5. 积分变换的应用：求解常微分方程的初值问题，求解积分方程；求定积 分。 LT 应用：⑴求解常微分方程的初值问题。⑵求解积分方程。⑶求定积分。 LT 特点：以定理形式讲授（但不证明），再例题分析。 一、Laplace 变换的定义和基本性质 1. 定义：若对于 (0,) 上的函数 (t) ，下述积分收敛于 (p) ，即 0 ( ) ( )d pt   p e t t     ，则称 (p) 为 (t) 的 Laplace 变换，记为 (p) (t) 。 引入阶梯函数(Heaviside step function)       0 0 1 0 ( ) t t H t ，那么 ( ) ( ) ( )d . pt   p e t H t t      2. Laplace 变换存在的条件： (i) 在区间 [0,) 中， (t) 和 '(t) 除具有第一类间断点外都是连续的，而 且在任何有限区间中这种间断点至多只有有限个； 第一类间断点是指在此点 0 t  t 不连续，但左极限 lim ( ) 0 0 t t t    和右极限