Methods of Mathematical Physics(2016.10) YLMa a Phys. FDU imq(t)均存在且有限,所以可积。 (i)o(1)随t增长的速度不超过某一指数函数,即l(t)≤M >0,s6≥0,t≥0) 定理:当Rep=s>时,(1)(p)存在并一致收敛,即lmp(p)=0 或者说,当-x+δ≤mgp≤x-6时,列(P)→0(p→∞) (2)(p)为P的解析函数 证明:设p=S+i,则 o(p)=o o(e arl sS lo(l le ld sMJetwardt= m 因此,当Rep=S>S时,列(P)存在并一致收敛,即imn列p)=0 对于任何实常数s>5,考虑ReP≥时的积分[0"]d ≤Mt So 于是(mm1出是一致收敛的,根据含参变量广义积分的性质, 因此,「 交换求导和积分的次序,即 iop p(n)epd dp 由此可见,可(P)的导数在Rep≥s>s0上处处存在且有限 即可(p)是解析的 3. Laplace变换的基本性质 (1)线性定理:如果q()(P2()分四2(P),c,C2是两个复常 数,则,c1()+c22(1)4C1(p)+c2(P)Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 3 lim ( ) 0 0 t t t    均存在且有限，所以可积。 (ii) (t) 随 t 增 长 的 速 度 不 超 过 某 一 指 数 函 数 ， 即 s t t Me 0 ( )   0, 0, 0 M  s0  t  . 定理：当 Re 0 p  s  s 时，(1)  ( p) 存在并一致收敛，即 lim ( ) 0 Re   p p  . 或者说，当          2 arg 2 p 时， (p) 0 p  . (2) (p) 为 p 的解析函数。 证明：设 p  s  i ，则  0  0 0 0 0 ( ) ( ) d ( ) d d pt pt s s t M p t e t t e t M e t s s                    因此，当 Re 0 p  s  s 时，  ( p) 存在并一致收敛，即 lim ( ) 0 Re   p p  . 对于任何实常数 1 0 s  s ，考虑 Re 1 p  s 时的积分 0 ( ) d pt t e t p               1 1 0 0 0 0 2 0 1 0 ( ) d ( ) d ( ) d d pt pt s t s s t t e t t e t t te t p p M M te t s s                                  因此， 0 ( ) d pt t e t p           是一致收敛的，根据含参变量广义积分的性质， 于是可以交换求导和积分的次序，即               0 0 ( ) d ( ) d d d d d t e t p t e t p p p p t p t    由此可见，  ( p) 的导数在 Re 1 0 p  s  s 上处处存在且有限， 即  ( p) 是解析的。 3. Laplace 变换的基本性质： （1） 线性定理：如果 ( ) ( ), ( ) ( ) 1 t 1 p 2 t 2 p ， 1 2 c ,c 是两个复常 数，则， ( ) ( ) ( ) ( ) c11 t  c22 t  c11 p  c22 p