(2)相似定理:如果04列,0是一正数,则0)→可2 证明:q(a P (3)原函数求导定理:如果o()列(p),则q()p(p)-0(0) 一般地,对自然数n,有(带初值) ()ep"(p)-p"o(0)-p2g(0) 证明 ()→D,o(et= Se"do( epro+pl o(e"'df= po(p)-p(O 其中,1→∞时,(l)e→0,这是因为(1)列(p),所以 ()≤Me,而Rep=s>S,因此 (t)e"|≤Me 两个极限: 0(p)=o(0),这是因为pp(p)-0(0)作为(t)的象 数,应满足lm[po(p)-o(0)=0,即mp0(p)=0(0). 2. li p)=limo(o) 这是因为o()[(O)ert=p列(p)-90), lim pp(p)=lim l o'(o)e dt+p(0)= o'(odt+p(O) lim(o) (4)原函数积分定理:如果o)4列(m),则1列p)(无初 值)。 证明:记v(1)=o(r)dr 显然,v(0) 于是有v()4pv(p)-v(0)=pv(p) 另一方面,v()=(1)<(p)比较两式可得,Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 4 （2） 相似定理：如果 (t) (p)，a 是一正数，则        a p a  at  1 ( ) . 证明：                      a p a a at at e t e a p p t        1 ( ) ( ) d ( ) d 0 0 . （3） 原函数求导定理：如果 (t) (p) ，则 '(t)  pp(0). 一般地，对自然数 n，有（带初值）     ( ) ( ) (0) '(0) (0) 1 2 1      n n n n n  t p  p p  p    . 证明： ( ) ( ) d   (0) '( ) '( ) d d ( ) 0 0 0 0                          t e p t e t p p t t e t e t p t t t p t p t p t 其中， t   时， ( )  0  pt  t e ，这是因为 (t) (p) ，所以 s t t Me 0 ( )  ，而 Re 0 p  s  s ，因此   ( ) 0  t e  pt  Me ss0 t  (t ). 两个极限： 1． lim  ( )  (0)  p p p ，这是因为 p(p) (0) 作为 (t) 的象函 数，应满足 lim  ( )  (0)  0  p p  p ，即 lim  ( )  (0)  p p p . 2． 0 lim ( ) lim ( ) p t p p t      ， 这是因为 '( ) '( ) d   (0) 0          t t e t p p p t ， 0 0 0 0 lim ( ) lim '( ) d (0) '( )d (0) lim ( ). pt p p t p p t e t t t t                          （4） 原函数积分定理：如果 (t) (p)，则   p p d t       0 ( ) (无初 值)。 证明：记 0 ( ) ( )d t     t   ，显然， (0)  0. 于是有 '(t)  p p(0)  p p. 另一方面， '(t) (t) p. 比较两式可得