·34… 智能系统学报 第3卷 Sum:x1Ox2⊙…⊙x,= 根据π型典型模糊控制器的解析表达式，研究 min1,x+x2, 了它的结构特性，极限特性和非线性特性，总结成下 Product:xx2x=x1x2x 面3个定理 4)解模糊方法 定理1（π型典型模糊控制器的结构定理）π 由性质2和π型隶属函数的性质可知，任意几 型典型模糊控制器可以等效为一个全局的二维继电 个规则的激活度之和必然小于等于1，所以Sum 器和一个局部的非线性PD控制器之和 Product中的有界和可以用普通和代替，因此采用 证明根据上面推导出的典型模糊控制器的解 重心法解模糊可得模糊控制器的输出为 析表达式6)式分为2部分，即 u°=(p,g+(e',r), 7) ∑πpe)r,(r)(p+s 5) P(p.q)pg 8) 2n πn(e)乃r) P.9-n e',r)=e+4 (9 2n 3π型典型模糊控制器的解析表达式 式中：(p,的作用是全局性的，只与e、r所在 及结构分析 的小区间在整个输入空间中的位置有关，因此是一 为不失一般性，设e∈[，+1I,r'∈[， 个全局的二维继电器.而中(e`,r)与严p1(e`)和 +11,p∈-n,5n-1,q∈{-n,…n-1}.在此 g+1(r)有关，由于采用均匀分布的隶属函数，各个 区域只有4条模糊规则被激活，即 模糊集合的宽度相同，乃p+1(e`)和+1(r)只与e If e'is and r'is,Then u'=(p+q)s; 和r相对于模糊集合中心点的距离相关，即与e'、 If e'is and r'is.Then u=(p+q+1)s: r在小区间内的相对位置有关，所以，虫(e°，r)的 fe'iso+and r'is元，Then u`=(p+q+l)s: 作用是局部性的，且是一个非线性的PD控制器. If e'is and r'is.Then u=(p+q+2)s: 以n=2为例，中(p,和u`的控制曲面分别 由5)式得 如图5和图6所示. ,·=之rne),(r）（p+4s ∑πp(e)(r) P.9-. 卫卫，Ln++工，Lp+q+1 刀prg+Tp+g刀g+元n兀g+1+刀+g兀g+1 ,卫Lp+g+1g+卫卫p+q+2s 05 刀prg+Tp+1Tg+πprg+1+兀p+1兀g+1 分母=几g刀p+刀p+1乃g+prp+1+兀n1g+1= 图5：(pg)的控制曲面图 (πp+刀p+1几+（πp+几p+)几g+1= Fig.5 Control surface of (p.q) 刀g+πg+1=1, 分子=乃，πg(p+gs+,1元(p+9+1)s+ πnπg1(p+q+1)s+元m+11(p+q+2s= (π，刀g+1元g+兀nrg+1+刀n1g+1)(p+s+ -0.5 -10 (πp+1元+πprg+1+2刀p+1πg+1)s= 0 0.5 0 (p+4s+(1+乃s=p土9+L+亚4 0. -0.5 2n 2n 因此，可得 图64”的控制曲面图 u=P,tg+L+山 Fig.6 Control surface of u 6) 2n 2n 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved hup://www.cnki.netSum : x1 © x2 © …© x r = min{ 1 , x1 + x2 …+ x r} , Product : x1 ·x2 …x r = x1 x2 …x r . 4) 解模糊方法 由性质 2 和π型隶属函数的性质可知 ,任意几 个规则的激活度之和必然小于等于 1 ,所以 Sum2 Product 中的有界和可以用普通和代替 ,因此采用 重心法解模糊可得模糊控制器的输出为 u 3 ∑ n p , q= - n πp ( e 3 )πq ( r 3 ) ( p + q) s ∑ n p , q= n πp ( e 3 )πq ( r 3 ) . (5) 3 π型典型模糊控制器的解析表达式 及结构分析 为不失一般性 , 设 e 3 ∈[ b 1 p , b 1 p + 1 ] , r 3 ∈[ b 2 q , b 2 p + 1 ] , p ∈{ - n , …, n - 1} , q ∈{ - n , …, n - 1} . 在此 区域只有 4 条模糊规则被激活 ,即 If e 3 isπ1 p and r 3 isπ2 q , Then u 3 = ( p + q) s; If e 3 isπ1 p and r 3 isπ2 q+ 1 , Then u 3 = ( p + q + 1) s; If e 3 isπ1 p + 1 and r 3 isπ2 q , Then u 3 = ( p + q + 1) s; If e 3 isπ1 p + 1 and r 3 isπ2 q+ 1 , Then u 3 = ( p + q + 2) s; 由(5) 式得 u 3 = ∑ n p , q= - n πp ( e 3 )πq ( r 3 ) ( p + q) s ∑ n p , q= - n πp ( e 3 )πq ( r 3 ) = πpπq ( p + q) s +πp+1πq ( p + q + 1) s πpπq +πp+qπq +πpπq+1 +πp+qπq+1 + πpπq+1 ( p + q + 1) s +πp+1πq+1 ( p + q + 2) s πpπq +πp+1πq +πpπq+1 +πp+1πq+1 , 分母 = πqπp +πp+1πq +πpπp+1 +πp+1πq+1 = (πp +πp+1 )πq + (πp +πp+1 )πq+1 = πq +πq+1 = 1 , 分子 = πpπq ( p + q) s +πp+1πq ( p + q + 1) s + πpπq+1 ( p + q + 1) s +πp+1πq+1 ( p + q + 2) s = (πpπq +πp+1πq +πpπq+1 +πp+1πq+1 ) ( p + q) s + (πp+1πq +πpπq+1 + 2πp+1πq+1 ) s = ( p + q) s + (πp+1 +πq+1 ) s = p + q 2 n + πp+1 +πq+1 2 n . 因此 ,可得 u 3 = p + q 2 n + πp+1 +πq+1 2 n . (6) 根据π型典型模糊控制器的解析表达式 ,研究 了它的结构特性 ,极限特性和非线性特性 ,总结成下 面 3 个定理. 定理 1 (π型典型模糊控制器的结构定理) π 型典型模糊控制器可以等效为一个全局的二维继电 器和一个局部的非线性 PD 控制器之和. 证明 根据上面推导出的典型模糊控制器的解 析表达式(6) 式分为 2 部分 ,即 u 3 = ΦG ( p , q) +ΦL ( e 3 , r 3 ) , (7) ΦG ( p , q) = p + q 2 n , (8) ΦL ( e 3 , r 3 ) = πp+1 ( e 3 ) +πq+1 ( r 3 ) 2 n . (9) 式中 :ΦG ( p , q) 的作用是全局性的 ,只与 e 3 、r 3 所在 的小区间在整个输入空间中的位置有关 ,因此是一 个全局的二维继电器. 而ΦL ( e 3 , r 3 ) 与πp + 1 ( e 3 ) 和 πq+ 1 ( r 3 ) 有关 ,由于采用均匀分布的隶属函数 ,各个 模糊集合的宽度相同 ,πp + 1 ( e 3 ) 和πq+ 1 ( r 3 ) 只与 e 3 和 r 3 相对于模糊集合中心点的距离相关 ,即与 e 3 、 r 3 在小区间内的相对位置有关 ,所以 ,ΦL ( e 3 , r 3 ) 的 作用是局部性的 , 且是一个非线性的 PD 控制器. 以 n = 2 为例 ,ΦG ( p , q) 和 u 3 的控制曲面分别 如图 5 和图 6 所示. ·34 · 智 能 系 统 学 报 第 3 卷 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net