第1期 张香燕，等：π型隶属函数的典型模糊控制器的解析结构 ·35 注释1当典型模糊控制器的输出为△山，= 器的解析表达式，得到了该模糊控制器可以等效为 h-h.1时，π型典型模糊控制器可以等效为一个全 一个全局的二维继电器和一个局部的非线性PD控 局的二维继电器和一个局部的非线性PI控制器之 制器之和的结论：并且研究了其极限特性和非线性 和，即： 特性，得出了其非线性度只与输入变量的模糊集合 △u=P,9++山= 个数有关，模糊集合个数越多，非线性度越小的结 2n 2n 论.由于π型隶属函数具有二阶逼近性能，而且π (p,+(e`,r) 型全交叠模糊集合具有均匀分布性和一致性，这给 定理2（π型典型模糊控制器的极限定理）对 模糊控制器的结构分析带来了很大的便利，也为π 于π型典型模糊控制器，当2个输入变量的模糊集 型隶属函数的典型模糊控制器的稳定性设计奠定了 个数趋向无穷时，全局的二维继电器趋近于线性 基础.然而三角形隶属函数的模糊控制器具有简单 PD控制器，而局部的非线性控制器将会消失，即： “=g(p,g+(e,r), 易于实现的优点，因此在π型隶属函数的控制器设 计中，如何平衡控制器的逼近性和设计的简单性值 (p.-lim(p.e+r) 得进一步的深入研究， (e`,r)=lim(e`,r)=0. 附录 证明篇幅较长，见附录 定理2的证明. 注释2由定理2可知，当2个输入变量的模 1)(p,部分的证明， 糊集个数n趋向无穷时，π型典型模糊控制器的输 由(p,的定义和式8)可得： 出等效于一个线性PD控制器，其比例和微分放大 系数分别为k=寸，k贴=过 e(p,g=imp,g=lim”2 因为e∈[，g11,r∈[6,61I:即e`∈ 定义3模糊控制器的非线性度P定义为 1$I p= [天r子所以当m-时。 Im+l m e片r丹代入上式可得 定理3（π型典型模糊控制器的非线性定理） π 型典型模糊控制器的非线性度为1/m p.=m2=e+r. 证明因为 2)(e‘,r)部分的证明 1克L 由(e°，r)的定义和式9)可得： p= |9nx|+川x|一n (e',r')lim 「亚e)+r⊥ 2n 141=-max2n 2n n q-·M,“1 又因为 因为4片 n」 ,当n |9s|=。,max 卫(e+卫r⊥ 时。r即p之 n'2n' p-. 2n g-··“1 丨生L nr'.q 所以p=1典+川Ln 由π型隶属函数的定义，可得 注释3由定理3可知，π型典型模糊控制器的 非线性度只与输入变量定义的模糊集合的个数n有 当e+别时， 关，n越大，非线性度越小.当输入空间进行无穷划 e)=1.2x2 分，也就是每个子区域足够小时，π型典型模糊控制 器收敛为一个线性D控制器，其非线性度也逐渐 1.2n e-n/n =1-2(e-pl2 趋于0. 当e 卫+L时， 4结束语 2n'n e)=2 x-bo-a 文章推导了具有π型隶属函数的典型模糊控制 a 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.nei注释 1 当典型模糊控制器的输出为Δut = ut - ut - 1时 ,π型典型模糊控制器可以等效为一个全 局的二维继电器和一个局部的非线性 PI 控制器之 和 ,即 : Δu 3 = p + q 2 n + πp+1 +πq+1 2 n = ΦG ( p , q) +ΦL ( e 3 , r 3 ) . 定理 2 (π型典型模糊控制器的极限定理) 对 于π型典型模糊控制器 ,当 2 个输入变量的模糊集 个数趋向无穷时 , 全局的二维继电器趋近于线性 PD 控制器 ,而局部的非线性控制器将会消失 ,即 : u 3 n→∞ = Φ∞ G ( p , q) +Φ∞ L ( e 3 , r 3 ) , Φ∞ G ( p , q) = limn→∞ ΦG ( p , q) = 1 2 ( e 3 + r 3 ) , Φ∞ L ( e 3 , r 3 ) = limn→∞ Φ∞ L ( e 3 , r 3 ) = 0. 证明篇幅较长 ,见附录. 注释 2 由定理 2 可知 ,当 2 个输入变量的模 糊集个数 n 趋向无穷时 ,π型典型模糊控制器的输 出等效于一个线性 PD 控制器 ,其比例和微分放大 系数分别为 K ∞ P = 1 2 , K ∞ D = 1 2 . 定义 3 模糊控制器的非线性度ρ定义为[6 ] ρ = | <Lmax | | <Lmax | +| <Gmax | . 定理 3 (π型典型模糊控制器的非线性定理) π 型典型模糊控制器的非线性度为 1/ n. 证明 因为 ρ = | <Lmax | | <Lmax | +| <Gmax | = 1 n . | <Lmax | = max p = - n, …, n- 1 q= - n, …, n- 1 p + q 2 n = 2 ( n + 1) 2 n = n - 1 n , 又因为 | <Lmax | = max p = - n 1 , …, n 1 - 1 q= - n 2 , …, n 2 - 1 πp+1 ( e 3 ) +πq ( r 3 ) 2 n = 1 n , 所以 ,ρ= | <Lmax | | <Lmax | + | <Gmax | = 1 n . 注释 3 由定理 3 可知 ,π型典型模糊控制器的 非线性度只与输入变量定义的模糊集合的个数 n 有 关 , n 越大 ,非线性度越小. 当输入空间进行无穷划 分 ,也就是每个子区域足够小时 ,π型典型模糊控制 器收敛为一个线性 PD 控制器 ,其非线性度也逐渐 趋于 0. 4 结束语 文章推导了具有π型隶属函数的典型模糊控制 器的解析表达式 ,得到了该模糊控制器可以等效为 一个全局的二维继电器和一个局部的非线性 PD 控 制器之和的结论; 并且研究了其极限特性和非线性 特性 , 得出了其非线性度只与输入变量的模糊集合 个数有关 ,模糊集合个数越多 , 非线性度越小的结 论. 由于π型隶属函数具有二阶逼近性能 ,而且π 型全交叠模糊集合具有均匀分布性和一致性 , 这给 模糊控制器的结构分析带来了很大的便利 ,也为π 型隶属函数的典型模糊控制器的稳定性设计奠定了 基础. 然而三角形隶属函数的模糊控制器具有简单 易于实现的优点 ,因此在π型隶属函数的控制器设 计中 ,如何平衡控制器的逼近性和设计的简单性值 得进一步的深入研究. 附录 定理 2 的证明. 1)Φ∞ G ( p , q) 部分的证明. 由Φ∞ G ( p , q) 的定义和式(8) 可得 : Φ∞ G ( p , q) = limn →∞ ΦG ( p , q) = limn→∞ p + q 2 n . 因为 e 3 ∈[ b 1 p , b 1 p + 1 ] , r 3 ∈[ b 2 q , b 2 q+ 1 ]; 即 e 3 ∈ p n , p + 1 n , r 3 ∈ q n , q + 1 n , 所以 , 当 n →∞时 , e 3 → p n , r 3 → q n ,代入上式可得 : Φ∞ G ( p , q) = limn →∞ p + q 2 n = 1 2 ( e 3 + r 3 ) . 2)Φ∞ L ( e 3 , r 3 ) 部分的证明. 由Φ∞ L ( e 3 , r 3 ) 的定义和式(9) 可得 : Φ∞ L ( e 3 , r 3 ) = limn →∞ πp+1 ( e 3 ) +πq+1 ( r 3 ) 2 n . 因为 e 3 ∈ p n , p + 1 n , r 3 ∈ q n , q + 1 n ,当 n → ∞时 , e 3 → p n , 1 2 n , r 3 → q n , 1 2 n , 即 ne 3 - p → 1 2 , nr 3 - q → 1 2 . 由π型隶属函数的定义 ,可得 当 e 3 ∈ p n , p n + 1 2 n 时 , πp ( e 3 ) = 1 - 2 x - b 1 p a1 2 = 1 - 2 e 3 - p/ n 1/ n 2 = 1 - 2 ( ne 3 - p) 2 ; 当 e 3 ∈ p n + 1 2 n , p n + 1 n 时 , πp ( e 3 ) = 2 x - b 1 p - a1 a1 2 = 第 1 期 张香燕 ,等 :π型隶属函数的典型模糊控制器的解析结构 ·35 · © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net