即通积分为:y=,x lx 3.解齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为 y=C( 代入原方程,确定出c(x)=e+c 原方程的通解为 四.证明 1.证明设(x),y2(x)是方程的两个解,则它们在(-∞,+∞)上 有定义,其朗斯基行列式为 1(x)y2(x) 由已知条件,得 1(x)y2(x0)0 0 W(x0) y(x)y(x)y(x0)y所少0 故这两个解是线性相关的 由线性相关定义,存在 不全为零的常数a,a2,使得 a1y(x)+a2y2(x)=0,x∈(-∞,+∞) 由于y(x)≠0,可知a2≠0,否则,若a2=0,则有a1y(x)=0,而 y(x)≠0,则a1=0,这与y(x),y2(x)线性相关矛盾.故 y2(x) y1(x)=Cy1(即通积分为： x C x y + = ln 3．解 齐次方程的通解为 x y C 3 e − = 令非齐次方程的特解为 x y C x 3 ( )e − = 代入原方程，确定出 C x C x = + 5 e 5 1 ( ) 原方程的通解为 x y C 3 e − = + 2x e 5 1 四．证明 1.证明 设 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 是方程的两个解，则它们在 (−, + ) 上 有定义，其朗斯基行列式为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 y x y x y x y x W x   = 由已知条件，得 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 0 =   =   = y x y x y x y x y x y x W x 故这两个解是线性相关的． 由线性相关定义，存在 不全为零的常数 1， 2 ，使得 1 y1 (x) + 2 y2 (x) = 0 ， x  (−, + ) 由于 y1 (x)  0 ，可知  2  0 ．否则，若  2 = 0 ，则有 1 y1 (x) = 0 ，而 y1 (x)  0 ，则 0 1 = ，这与 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 线性相关矛盾．故 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 y x = − y x = Cy x  