若该二十面体顶点连线形成的三角形是等腰的，则应有1=12，由（1.5)、(1.9) 解出 pW2(1-cosΦ)=pV√2sin2φ(1-cosπ/5)+4cos2Φ 整理后得到（舍去无意义的负值） c0s中=-1±V1+4c0s(/5)(1+c0s/5)=1 (1.10) 2(1+cos/5) 5 因为c0sm/5=(√5+1)/4(3)，再因 siab=号 sig=√5-v (1.11) ,故从(1.11)、(1.10)、(1.7)、(1.5)推出 l=2Pw√/6-Y5, 1=PW2(1-1) (1.12) 10 5 可见11=1=12，从而得到下面的 命题1设I是一个内接于半径为P的球面的二十面体，若其十二个顶点坐标满 足公式(1.2)、（1,3)、(1.4)，则I的每个面是等边的相同三角形（从而I为正 二十面体)当且仅当每个面是等腰的相同三角形，且有 中=arccos55 1 1=P 10-2/5 (1.13) a) 2正五角十二面体的几何参数 色 设某正五角十二面体的二十个顶点内接于半径 为P的球面上。与前节相仿选取坐标轴X,Y,Z如 图2(a)、（b)所示，用球坐标(1.1)将各顶 点表为 Cl4=p(sin中1cos2m(i-1）, b) 5 sin中1sin2x(i-1）,co5中1)， p 5 i=1、2、8、4、5 (2.1) C2:=p(sin中cos_2mi-1）, 5 图2(a)正五角十二面体 sin中2sin2r(i-1）,c0s中2)， (b)正五角十二面体心坐标系 5 Fig.2(a)Orthopentagonal dodecahedron i=1,2,8,4,5 (2.2) (b)Coordinate syatem for it. 138若该二 十面 体顶点连线形成的三角形是 等腰 的 ， 则应有 ， 由 、 解 出 侧 一 小 侧 “ 小 一 二 “ 小 整理后 得到 舍去无意义 的负值 小 一 士 了 二 二 二 与 二 一 ， 气 。 夕 斌 因为 二 侧百 ‘ ， 再 因 小 一』二 、 。 一里一 亏下万了 一 甘 占 舀 舀 二 ， 一 了 ’ ， 。 · ， 故从 、 、 、 推 出 ， 。 店二 万一 几 二 “ 尸 － 了石万了二二二 ， 了 。 可 见 ， 从而得到 下面 的 命题 设 是 一个 内接于半径 为 的球面 的二 十面 体 ， 若其十二 个顶点坐标满 足 公式 、 、 ， 则 工的每 个面是等边 的相 同三角形 从而 为正 二 十面体 当且 仅当每个面是 等腰的相 同三角形 ， 且有 小 。 。 训 ，万 ’ ‘ 了 二岑互 。 正 五 角 二面 体 的几何参数 呼 设某正五 角十二面体 的二 十个 顶点内接于半径 为 的球面 上 。 与前 节相仿选取坐标轴 ， ， 如 图 、 所示 ， 用球 坐标 将各 顶 点表为 叮众了丫丫护 竺淤落嘟 、 侧以 右 。 全 毛冬二二 才 ’ 小 北 一 小 兀 一 小 ， 、 、 、 、 。 二 小 兀 一 小 小 兀 一 ， ， 小 ， 图 “ 正五角 二面体 正五角十二面体心坐标系 ，一 夕 ” “