parameters,3-dimension quasicrystal lattices,coordinate trans- formation. 1正二十面体的几何参数 设某二十面体的十二个顶点内接于半径为P的球面上，其球心选为坐标原点O,Z 轴通过顶点C、，C如图1（该图画的是正二十面体，下面的分析并未要求必为正二十 面体)，在上半球和下半球分别均布着顶点C:,C3、C5、C7、C和C2、C4、C6、C8、 C10。过原点O与Z轴垂直作X一Y平面，取X轴使得C:在X一Y平面的投影恰在正X轴 上。用球坐标来表示空间中点(X,Y,Z): X=psinφcos0,y=psinφsinf,Z=pcosΦ (1.1) 由图1和(1.1)立得： C=(0,0,p),C=(0,0,-p)(1.2) C:=p(sin中cos元i-1) 5 sinosin-1),pcos中) 5 i=1,3,5,7,9 (1.3) C:=p(sin中cosπ(i-1) 5 tb) sin4sin(i-1）,-pcos中)， 5 i=2,4,6,8,10 ·(1.4) 从而可知对于i=1,3,5,7,9有 1=|C-C:|=p√2(1-cosφ)(1.5) 和1=1'=C-Ci,i=2,4,6,8,10(1.6 图1(a)二十而体(b)二十而体的坐标系 另一方面从(1.2)至(1.4)知'· Fig.1(a)Icosahedron (b)coordinate system for icosahedron 11=ICi-Ci.:=2 psinosin/5, 1=1,3,5,7 (1.7) 11=1'=1C1-C:+|,1=2,4,6,8 (1.8) 12=lC:-C1+,=pV2sin2Φ(1-Cosπ/5)+4cos2φ， i=1,3,5,7,9 (1.9) 137， 一 ， 刀 二 正 二 十面体的几何 参数 设 某二 十面 体的十二 个 顶点 内接 于半径为 的球面 上 ， 其球心 选 为坐标原点 ， 轴 通过 顶点 、 ， 己如 图 该 图画 的是 正二 十面 体 ， 下面 的分析并未 要求 必为正二 十 面体 ， 在上半球 和下半球分别均布着顶点 、 。 、 。 、 、 。 和 、 ‘ 、 、 、 ，。 。 过 原点 与 轴垂直作 一 平面 ， 取 轴 使得 ，在 一 平面 的投影恰 在 正 轴 上 。 用球 坐标 来表示 空 间中点 ， ， 中 。 ， ’ 小 。 ， 小 一 由图 和 立 得 ， ， ， ， ， 一 小 兀 一 小 兀 一 ， 小 ， ， ， ， 。 小 兀 一 小 兀 一 一 小 ， ， ， ， 。 从而可知 对于 ， ， ， ， 有 一 、 侧 一 小 即‘ 和 ， 一 ， 二 ， ， ， ， 另一方面从 至 知 ’ 。 图 二 而 休 二 面体的坐标系 一、 ， ， 一 、 ， ， ， ， 小 二 ， 。 ，尹 ， 一 ， ， 。 一 ， 侧 小 一 二 “ 小 ’ ， ，