第2期 徐志强，等，包含原理的群体机器人队形一致协调控制 ·303 式中：r:=[e:5:]'为机器人R,的基本状态信息变量， e 0 0 0 0 0 0 en 0 0 ,和 (6) 0 0 0 0 0 η：分别为子系统输入噪声和输出测量噪声向量序 0 0 0 0 1 列，其协方差分别为W和W。式(8)用虚线标出 了领航者与一个跟随者组成的子系统对。即，机器 最简形式为 人R分别与机器人R2、R、R4、R、R,和R,组成一个 子系统对。 2群体机器人系统重叠结构分解 式中：e:=[eae]T,5:=[a5]u:=[ua4]T。0 系统包含原理是解决具有信息结构约束系统复 和I分别为2阶零矩阵和2阶单位矩阵。 杂性的有效方法，通过将原系统的状态空间进行扩 1.2群体机器人系统模型 展，得到各个子系统近似解耦的更为广大的扩展空 本文考虑7个机器人leader--follower系统，它的 信息交换拓扑结构如图2(a)所示，为有向图[)。 间。在扩展空间中，不仅可以分析各个子系统之间 的内在关系，还可以分别对各个子系统进行独立的 假设机器人R2、R,、R4、R5、R。、R,只能感知到R的状 动态控制器和观测器设计。之后，对分别设计的控 态信息，而它们相互之间无法感知到对方信息。因 制器和观测器进行合理有效地补偿，在满足包含原 此可以认为R,是领航者，其他6个机器人为跟随 理收缩条件下，将其收缩回原系统空间中，对整体系 者。由此所构建的7个机器人组成的动态系统模型 统进行控制。由此可见，该方法既简化了复杂系统 如式(8)，同时考虑了现实系统中存在的随机噪声。 R 的分析与设计，又提高了系统的鲁棒性。有关系统 包含原理的详细内容请参见文献[14]。 R 在具有信息结构约束下的系统中，每一个子系 统可能与一个或多个子系统互联构成多种拓扑结 R 构。其中最典型的是链型、环型和星型结构。 本文所研究的群体机器人信息交换拓扑结构正是文 R ◆R (a)结构1 (b)结构2 献[8]中提到的星型结构。因此，本文以满足包含 图27个机器人信息交换拓扑结构 条件的典型约束α为例，应用星型结构系统的重叠 Fig.2 Seven robots information exchange topology 结构分解方法，对模型如式(8)进行子系统对对分 解，形成由2个子系统组成的有序排列基本互联子 系统对R1-R2,R1-R3,R1-R4,R1-R5,R1-R6,R1-R A 0 0 如图2(b)所示。首先根据文献[8]并考虑机器人 0 A 0 R,为星型结构核心，选取如下扩展变换矩阵： N-1 . .· : V=blkdiag([Ln,… 1n],l,…,1v） 0 0 A N-1 B. 0 0 0 U=blkdiag( -1 B, 2 T 0 52 N-I .· .. 0 r=blkdiag([1…]',l…,1n) 0 B 0 0 N-1 y C 0 n Q=blkdiag(N-1 1n,…1m],,…,1) 0 C, T=V,S=U (9) .: 式中：代表子系统个数，本文取N=7:blkdiag(*) y 0 0 是用于构造一个块对角矩阵的函数；I和I分别 i= 1,2,…,7 8 代表与子系统状态矩阵A和输入矩阵B,同维的单 位阵。ｅ · ｘｉ ｅ · ｙｉ ζ · ｘｉ ζ · ｙｉ é ë ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ＝ ０ ０ １ ０ ０ ０ ０ １ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ｅｘｉ ｅｙｉ ζｘｉ ζｙｉ é ë ê ê ê ê êê ù û ú ú ú ú úú ＋ ０ ０ ０ ０ １ ０ ０ １ é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú μｘｉ μｙｉ é ë ê ê ù û ú ú （６） 最简形式为 ｅ · ｉ ζ · ｉ é ë ê ê ê ù û ú ú ú ＝ Ｏ Ｉ Ｏ Ｏ é ë ê ê ù û ú ú ｅｉ ζｉ é ë ê ê ù û ú ú ＋ Ｏ Ｉ é ë ê ê ù û ú ú μｉ （７） 式中：ｅｉ ＝ ［ｅｘｉ ｅｙｉ］ Ｔ ，ζｉ ＝ ［ζｘｉ ζｘｉ］ Ｔ ，μｉ ＝ ［μｘｉ μｙｉ］ Ｔ 。 Ｏ 和 Ｉ 分别为 ２ 阶零矩阵和 ２ 阶单位矩阵。 １．２ 群体机器人系统模型 本文考虑 ７ 个机器人 ｌｅａｄｅｒ⁃ｆｏｌｌｏｗｅｒ 系统，它的 信息交换拓扑结构如图 ２（ ａ） 所示，为有向图［１３］ 。 假设机器人 Ｒ２ 、Ｒ３ 、Ｒ４ 、Ｒ５ 、Ｒ６ 、Ｒ７只能感知到 Ｒ１的状 态信息，而它们相互之间无法感知到对方信息。 因 此可以认为 Ｒ１ 是领航者，其他 ６ 个机器人为跟随 者。 由此所构建的 ７ 个机器人组成的动态系统模型 如式（８），同时考虑了现实系统中存在的随机噪声。 图 ２ ７ 个机器人信息交换拓扑结构 Ｆｉｇ．２ Ｓｅｖｅｎ ｒｏｂｏｔｓ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｅｘｃｈａｎｇｅ ｔｏｐｏｌｏｇｙ ｒ · １ ｒ · ２ ︙ ｒ · ｉ é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ＝ Ａ１ Ｏ … Ｏ Ｏ Ａ２ … Ｏ ︙ ︙ ︙ Ｏ Ｏ … Ａｉ é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ｒ１ ｒ２ ︙ ｒｉ é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ＋ Ｂ１ Ｏ … Ｏ Ｏ Ｂ２ … Ｏ ︙ ︙ ︙ Ｏ Ｏ … Ｂｉ é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú μ１ μ２ ︙ μｉ é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ＋ Γ１ Ｏ … Ｏ Ｏ Γ２ … Ｏ ︙ ︙ Ｏ Ｏ Ｏ … Γｉ é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ξ１ ξ２ ︙ ξｉ é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ｙ１ ｙ２ ︙ ｙｉ é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ＝ Ｃ１ Ｏ … Ｏ Ｏ Ｃ２ … Ｏ ︙ ︙ ︙ Ｏ Ｏ … Ｃｉ é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ｒ１ ｒ２ ︙ ｒｉ é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ＋ η１ η２ ︙ ηｉ é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ｉ ＝ １，２，…，７ （８） 式中：ｒｉ ＝ ［ｅｉ ζｉ］ Ｔ为机器人 Ｒｉ的基本状态信息变量， Ａｉ ＝ Ｏ Ｉ Ｏ Ｏ é ë ê ê ù û ú ú ， Ｂｉ ＝ Γｉ ＝ Ｏ Ｉ é ë ê ê ù û ú ú ， Ｃｉ ＝ Ｉ Ｏ Ｏ Ｉ é ë ê ê ù û ú ú ，ξｉ和 ηｉ分别为子系统输入噪声和输出测量噪声向量序 列，其协方差分别为 Ｗξｉ和 Ｗηｉ。 式（８）用虚线标出 了领航者与一个跟随者组成的子系统对。 即，机器 人 Ｒ１分别与机器人 Ｒ２ 、Ｒ３ 、Ｒ４ 、Ｒ５ 、Ｒ６和 Ｒ７组成一个 子系统对。 ２ 群体机器人系统重叠结构分解 系统包含原理是解决具有信息结构约束系统复 杂性的有效方法，通过将原系统的状态空间进行扩 展，得到各个子系统近似解耦的更为广大的扩展空 间。 在扩展空间中，不仅可以分析各个子系统之间 的内在关系，还可以分别对各个子系统进行独立的 动态控制器和观测器设计。 之后，对分别设计的控 制器和观测器进行合理有效地补偿，在满足包含原 理收缩条件下，将其收缩回原系统空间中，对整体系 统进行控制。 由此可见，该方法既简化了复杂系统 的分析与设计，又提高了系统的鲁棒性。 有关系统 包含原理的详细内容请参见文献［１４］。 在具有信息结构约束下的系统中，每一个子系 统可能与一个或多个子系统互联构成多种拓扑结 构。 其中最典型的是链型、环型和星型结构［７⁃８］ 。 本文所研究的群体机器人信息交换拓扑结构正是文 献［８］中提到的星型结构。 因此，本文以满足包含 条件的典型约束 ａ 为例，应用星型结构系统的重叠 结构分解方法，对模型如式（８）进行子系统对对分 解，形成由 ２ 个子系统组成的有序排列基本互联子 系统对 Ｒ１ ⁃Ｒ２ ， Ｒ１ ⁃Ｒ３ ， Ｒ１ ⁃Ｒ４ ， Ｒ１ ⁃Ｒ５ ， Ｒ１ ⁃Ｒ６ ， Ｒ１ ⁃Ｒ７ ， 如图 ２（ ｂ）所示。 首先根据文献［８］ 并考虑机器人 Ｒ１ 为星型结构核心，选取如下扩展变换矩阵： Ｖ ＝ ｂｌｋｄｉａｇ（［Ｉｎ１ … Ｉｎ１ î ï Ｎí－１ï ï ì ］ Ｔ ，Ｉｎ２ ，…，ＩｎＮ ） Ｕ ＝ ｂｌｋｄｉａｇ（ １ Ｎ － １ ［Ｉｎ１ … Ｉｎ１ î ï Ｎí－１ï ï ì ］，Ｉｎ２ ，…，ＩｎＮ ） ｒ ＝ ｂｌｋｄｉａｇ（［Ｉｍ１ … Ｉｍ１ î ï Ｎí－１ï ï ì ］ Ｔ ，Ｉｍ２ ，…，ＩｍＮ ） Ｑ ＝ ｂｌｋｄｉａｇ（ １ Ｎ － １ ［Ｉｍ１ … Ｉｍ１ î ï Ｎí－１ï ï ì ］，Ｉｍ２ ，…，ＩｍＮ ） Ｔ ＝ Ｖ，Ｓ ＝ Ｕ （９） 式中：Ｎ 代表子系统个数，本文取 Ｎ＝ ７；ｂｌｋｄｉａｇ（∗） 是用于构造一个块对角矩阵的函数； Ｉｎｉ 和 Ｉｍｉ 分别 代表与子系统状态矩阵 Ａｉ和输入矩阵 Ｂｉ同维的单 位阵。 第 ２ 期 徐志强，等：包含原理的群体机器人队形一致协调控制 ·３０３·