法米判别其收敛性.注意到三+刚好是级数+片的部分和，若级数收 敛，则5，有界，从而可得所要证的结论 证明由于 %=0+0m=l23 故所给级数是正项级数。又由于 p=m6-mF+-+片-， 故由根值审敛法知所给级数收敛。由此可知该级数的部分和数列5，}有界，所以 =2+=0. 注在证明级数+片广收敛时，若用比值审敛法，则求p时较复杂。 例6(1)下列说法正确的是(). A.若∑4，收敛，则∑收敛。 B。若∑“收敛，则∑，收敛 C.若∑，收敛，则limm,=0。 D.若∑4.收敛且m么=1，则∑y不一定收敛 (2)(06研)若级数∑a.收敛，则级数(). A.∑la.收敛. B.∑(-1ra,收敛。 Ca,an收敛 D三2收做 解(D取=r方，则可知A,B及C错误。故选D.另外，如果取，=八方 =(-H少方+分则可知虽然级数立，收敛且有m兰=1，但级数立发散：若级数立 收敛且一警=1，当和，都是正项级数时，由比较审敛可知，也收敛，这从另 一方面说明了D是正确的. (2)因为级数∑a,收敛，故级数∑a也收敛，由收敛级数的性质可知D正确.另 法来判别其收敛性．注意到 2 1 1 1 (1 ) 3 n k k k = k  + 刚好是级数 2 1 1 1 (1 ) 3 n n n n  =  + 的部分和 n s ，若级数收 敛，则 n s 有界，从而可得所要证的结论． 证明 由于 1 1 2 (1 ) >0 ( 1,2,3, ) 3 n n n u n n = + = ， 故所给级数是正项级数．又由于 1 1 1 1 2 lim lim (1 ) lim (1 ) 1 3 3 3 n n n n n n n n n e u n n  → → → = = + = + =  ， 故由根值审敛法知所给级数收敛．由此可知该级数的部分和数列 { }n s 有界，所以 2 1 1 1 1 1 lim (1 ) lim 0 3 n k k n n n k s → → n k n =  + = = ． 注 在证明级数 2 1 1 1 (1 ) 3 n n n n  =  + 收敛时，若用比值审敛法，则求  时较复杂． 例 6 （1）下列说法正确的是（ ）． A．若 1 n n u  =  收敛，则 1 n n u  =  收敛． B．若 1 n n u  =  收敛，则 2 1 n n u  =  收敛． C．若 1 n n u  =  收敛，则 lim 0 n n nu → = ． D．若 1 n n u  =  收敛且 lim 1 n n n u → v = ，则 1 n n v  =  不一定收敛． （2）（06 研）若级数 1 n n a  =  收敛，则级数（ ）． A． 1 n n a  =  收敛． B． 1 ( 1)n n n a  =  − 收敛． C． 1 1 n n n a a  + =  收敛． D． 1 1 2 n n n a a  + = +  收敛． 解 （1）取 1 ( 1)n n u n = − ，则可知 A，B 及 C 错误．故选 D．另外，如果取 1 ( 1)n n u n = − ， 1 1 ( 1)n n v n n = − + ，则可知虽然级数 1 n n u  =  收敛且有 lim 1 n n n u → v = ，但级数 1 n n v  =  发散；若级数 1 n n u  =  收敛且 lim 1 n n n u → v = ，当 1 n n u  =  和 1 n n v  =  都是正项级数时，由比较审敛可知 1 n n v  =  也收敛。这从另 一方面说明了 D 是正确的． （2）因为级数 1 n n a  =  收敛，故级数 1 1 n n a  + =  也收敛，由收敛级数的性质可知 D 正确．另