故由比值审敛法知原级数收敛. (2)由于，=㎡B≥0(n=2,3,4),故所给级数是正项级数.又由于 p=lim=lim㎡F=B1im原=B, 或 p-发-a-(告a 故由根值审敛法（或比值审敛法）知：当0≤B<1时，原级数收敛：当>1时，原级数发散 而当B=时，原级数变为∑㎡，当a<-l时，级数收敛：当a2-l时，级数发散. 综上所述：当0≤B<1,a为任意实数时，原级数收敛：当B>1,a为任意实数时， 原级数发散：当=1，a<-1时，原级数收敛：当B=1,a≥-1时，原级数发散 (3)由于=0a>0m=123,故所给级数是正项级数。又由于 a= 故由比值审敛法知当0<a<e时，原级数收敛：当a>e时，原级数发散：当a=e时，考察 e 的值。由极限m+月=e的推导过程可知：数列1+广=12,3)是单调增加的，并且 有上界e,即有 0+r<em=l,23 因此有 由此可得>4，(n=L2,3).而4=，故1im机，≠0，由级数收敛的必要条件可知原级 数发散 综上所述：当0<a<e时，原级数收敛：当a≥e时，原级数发散. 例5正明级数0+片广收敛。并由此证明=三0+以0 分析所给级数是正项级数，其一般项是化=子+片，含有n次幂，故用根值审敛故由比值审敛法知原级数收敛． （2）由于 0 ( 2,3,4, ) n n u n n  =  =  ，故所给级数是正项级数．又由于 lim lim lim n n n n n n n n u n n       → → → = = = = ， 或 1 1 ( 1) 1 lim lim lim ( ) n n n n n n n u n n u n n         + + → → → + + = = = = ， 故由根值审敛法(或比值审敛法)知：当 0 1    时，原级数收敛；当 >1 时，原级数发散； 而当 =1 时，原级数变为 n 1 n   =  ，当  −1 时，级数收敛；当  −1 时，级数发散． 综上所述：当 0 1    ， 为任意实数时，原级数收敛；当  1， 为任意实数时， 原级数发散；当 =1， −1 时，原级数收敛；当 =1， −1 时，原级数发散． （3）由于 ! >0 ( 0, 1,2,3, ) n n n a n u a n n =  = ，故所给级数是正项级数．又由于 1 1 1 ( 1)! lim lim lim ( 1) ! 1 (1 ) n n n n n n n n n n u a n n a a u n a n e n  + + → → → + + = =  = = + + ， 故由比值审敛法知当 0   a e 时，原级数收敛；当 a e  时，原级数发散；当 a e = 时，考察 1 ( 1,2,3, ) 1 (1 ) n n n u e n u n + = = + , 的值．由极限 1 lim(1 )n n e → n + = 的推导过程可知：数列 1 (1 ) ( 1,2,3, ) n n n + = 是单调增加的，并且 有上界 e ，即有 1 (1 ) ( 1,2,3, ) n e n n +  = ， 因此有 1 1 1 (1 ) n n n u e u n + =  + ， 由此可得 1 ( 1,2,3, ) n n u u n +  = ．而 1 u e = ，故 lim 0 n n u →  ，由级数收敛的必要条件可知原级 数发散． 综上所述：当 0   a e 时，原级数收敛；当 a e  时，原级数发散． 例 5 证明级数 2 1 1 1 (1 ) 3 n n n n  =  + 收敛，并由此证明 2 1 1 1 1 lim (1 ) 0 3 n k k x n k k → =  + = ． 分析 所给级数是正项级数，其一般项是 1 1 2 (1 ) 3 n n n u n = + ，含有 n 次幂，故用根值审敛