外如果取a=r石，则可知。B及C销误 例7判别下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 学 (2)2-r-: o8r w名 分析这些级数都是交错级数，属任意项级数范畴.判别其收敛性的一般方法是：先根 据正项级数的审敛法来判定是否绝对收敛，若是，则该级数本身收敛，判别工作完成：若不 是，再判别该级数本身是否收敛.若它满足莱布尼茨定理的两个条件，则它本身收敛，即条 件收敛，判别工作完成：若它不满足菜布尼茨定理的两个条件，则需要另找方法判别它的收 敛性。值得注意的是，在用比值审敛法或根值审敛法判别绝对收敛的过程中，若>1，则 该级数不仅不绝对收敛，而且其本身一定发散. 据，上宁故当p>1时，名收数即原级数能对收效当 0<p≤1时，∑m,发散，但由莱布尼茨定理知∑4，收敛，即原级数条件收敛：当p≤0时， lim”,≠0，原级数发散. 2)=lr丽-.雨-=+后2mw而 三发散，故由比较审敛法知三以发散。注意到三，收敛（满足莱布尼茨定理条件， 故原级数条件收敛。 e)=rM=于 p器 -*0+0r=e1 故由比值市敛法知空，发放。注意到一>1，回420，因此根级数发散 (-”外，如果取 1 ( 1)n n a n = − ，则可知 A，B 及 C 错误． 例 7 判别下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ （1） 1 1 ( 1)n p n n  − = −  ； （2） 1 ( 1) ( 1 ) n n n n  =  − + − ； （3） 1 1 ( 1) ( 1)! n n n n n  + = − +  ； （4） 2 ( 1) ( 1) n n n n  = − + −  ． 分析 这些级数都是交错级数，属任意项级数范畴．判别其收敛性的一般方法是：先根 据正项级数的审敛法来判定是否绝对收敛，若是，则该级数本身收敛，判别工作完成；若不 是，再判别该级数本身是否收敛．若它满足莱布尼茨定理的两个条件，则它本身收敛，即条 件收敛，判别工作完成；若它不满足莱布尼茨定理的两个条件，则需要另找方法判别它的收 敛性．值得注意的是，在用比值审敛法或根值审敛法判别绝对收敛的过程中，若  1 ，则 该级数不仅不绝对收敛，而且其本身一定发散． 解 （1） 1 ( 1)n n p u n − − = ， 1 n p u n = ．故当 p 1 时， 1 n n u  =  收敛，即原级数绝对收敛；当 0 1   p 时， 1 n n u  =  发散，但由莱布尼茨定理知 1 n n u  =  收敛，即原级数条件收敛；当 p  0 时， lim 0 n n u →  ，原级数发散． （2） ( 1) ( 1 ) n n u n n = − + − ， 1 1 1 1 2 n u n n n n n = + − = + + （ n → ），而 1 1 n 2 n  =  发散，故由比较审敛法知 1 n n u  =  发散．注意到 1 n n u  =  收敛（满足莱布尼茨定理条件）， 故原级数条件收敛． （3） 1 ( 1) ( 1)! n n n n u n + = − + ， 1 ( 1)! n n n u n + = + ．由于 2 1 1 1 1 ( 1) ( 1)! 1 ( 1) lim lim lim ( 2)! 2 n n n n n n n n n u n n n n u n n n n  + + + → → → + + + + + + = =  =  + + 1 1 1 lim (1 )(1 ) 1 2 n n n e → n n n + =  + + =  + ， 故由比值审敛法知 1 n n u  =  发散，注意到 1 lim 1 n n n u u + →  ， lim 0 n n u →  ，因此原级数发散． （4） 解法 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 = = [1 +o( )] ( 1) ( 1) 2 1+ n n n n n n n u n n n n n n − − − − = − + − − 3 ( 1) 1 ( 1) 1 = o( ) 2 n n n n n n − − − +