x'-y dx ersin 8 五、两类曲面积分之间的联系 f(x, y) D 设有向曲面Σ是由方程z=x(x,y)给出,Σ在xoy面上的投影区域为Dx,函 数〓=〓(x,y)在Dx上具有一阶连续偏导数,R(x,y,=)在Σ上连续.对坐标的 曲面积分为Rxyb=士1x,y:(x,y)d,曲面x的法向量的方向 干二 余弦为cosa CoS coSy 2+二 1+z2+ 对面积的曲面积分为 Rx,y,) cosys=土刚x,y,-(x,y)xd 所以R(xy,d=( ax, y,=)cos yds(注意取曲面的两侧均成立) 两类曲面积分之间的联系 fPdyd+ Oded+Rdrdy=[(Pcosa+gcos B+Rcos y)dS 向量形式44=4,n或』= 其中A={P,Q,R},n={cosa,cosB,cosy}为有向曲面Σ上点(x,y,=)处的单位 法向量,dS=成dS={dh,dhx,d的称为有向曲面元,A为向量A在方上的投7  = − − Dxy xy x y dxdy 2 2 2 1 . 15 2 2 sin cos 1 2 2  = − = Dxy r   r rdrd 五、两类曲面积分之间的联系 设有向曲面Σ是由方程 z = z(x, y) 给出,Σ在 xoy 面上的投影区域为 Dxy , 函 数 z = z(x, y) 在 Dxy 上具有一阶连续偏导数, R(x, y,z) 在Σ上连续. 对坐标的 曲面积分为   =   Dxy R(x, y,z)dxdy R[x, y,z(x, y)]dxdy，曲面Σ的法向量的方向 余弦为 . 1 1 ,cos 1 ,cos 1 cos 2 2 2 2 2 2 x y x y y x y x z z z z z z z z + +  = + + = + +  =     对面积的曲面积分为   =   Dxy R(x, y,z)cosdS R[x, y,z(x, y)]dxdy 所以 R(x, y,z)dxdy R(x, y,z)cosdS     = (注意取曲面的两侧均成立) 两类曲面积分之间的联系 Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos  Rcos )dS     + + = + + 向量形式         AdS = AndS Ads = AndS        或 其中 A = {P,Q,R},n = {cos,cos ,cos }   为有向曲面Σ上点 (x, y,z) 处的单位 法向量, dS = ndS = {dydz,dzdx,dxdy}   称为有向曲面元, An 为向量 A  在 n  上的投 影. Dxy z = f (x, y)  x y z o ds n 