江画工太猩院 定理1收敛的数列必定有界 证设 lim x=a,由定义,取ε=1, 1→0 则N使得当n>N时恒有xn-a<1, 即有a-1<xn<a+1 记M=max{x1,…,xN,-1,a+1}, 则对一切自然数n皆有xn≤M,故xn有界 注意:有界性是数列收敛的必要条件 推论无界数列必定发散江西理工大学理学院 定理1 收敛的数列必定有界. 证 lim x a, n n = →∞ 设 由定义, 取ε = 1, ∃N, n > N x − a < 1, 则 使得当 时恒有 n a − 1 < x < a + 1. 即有 n max{ , , , 1, 1}, 记 M = x1 L x N a − a + n, x M, 则对一切自然数 皆有 n ≤ 故{ }有界. xn 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散