向取外侧 小(x-y+)hd+(y-+x)dx+(-x+y)hd,其中∑为闭曲 面|x-y+2|+|y-x+x|+|z-x+y|=1,方向取外侧 (3)j(x2cosa+y2coB+:2cosy),其中∑为锥面=2=x2+y2介于 平面z=0与z=h(h>0)之间的部分,方向取下侧; (4)∫xdh+yth+ahd,其中∑为上半球面=√R2-x2-y2, 方向取上侧 (5)∫21-x)bh+8xhx-4=xdh,其中∑是由xy平面上的曲线 x=e(0≤y≤a)绕x轴旋转而成的旋转面,曲面的法向量与x 轴的正向的夹角为钝角; (6)∫(2x+)h+doh,其中Σ是曲面==x2+y2(0≤=≤1),曲 面的法向量与z轴的正向的夹角为锐角; (7)cdk+(a+2)c(a>0),其中Σ是下半球面 a2-x2-y2,方向取上侧 (8)[2+1d+zd,其中Σ是 (i)椭球面x2+2y2+3x2=1,方向取外侧 (ⅱi)抛物面 (z≥0),方向取上侧。 516 解(1)设Ω是Σ所围的空间区域,则 ∫xhd=+ydr ∫2x+y+)dd=6d==3 (2)设是∑所围的空间区域,作变换:{=y-=z+x,则 t y a0.22=4,且变换将变为={(nx)++,记Q"是 在第一象限的部分,则 (x-y+==+(y-2+x)dcd+(2-x+y)dxdy 3dxdyd==dudvdw=6 duded=1 4向取外侧； （2） ，其中Σ为闭曲 面 ( ) x − + y z dydz + ( ) y − z + x dzdx + (z − x + y)dxdy ∫∫ Σ | x − y + z |+| y − z + x |+| z − x + y |= 1，方向取外侧； （3） ，其中Σ为锥面 介于 平面 ( ) x y z 2 2 2 cosα β + + cos cosγ ∫∫ Σ dS 2 z x y 2 2 = + z = 0与z h = (h > 0)之间的部分，方向取下侧； （4） ∫∫ xdydz + + ydzdx zdxdy ，其中Σ为上半球面 Σ z R = − x − y 2 2 2 ， 方向取上侧； （5） ∫∫ 2 1( ) −+− x 2 dydz 8xydzdx 4zxdxdy ，其中Σ是由 Σ xy平面上的曲线 x e = ≤ y (0 y ≤ a) 绕 x轴旋转而成的旋转面，曲面的法向量与 轴的正向的夹角为钝角； x （6） ，其中Σ是曲面 （ ），曲 面的法向量与 轴的正向的夹角为锐角； ∫∫ Σ (2x + z)dydz + zdxdy 2 2 z = x + y 0 ≤ z ≤ 1 z （7） ∫∫ Σ + + + + 2 2 2 1/ 2 2 ( ) ( ) x y z axdydz a z dxdy （ a > 0 ）， 其 中 Σ 是下半球面 2 2 2 z = − a − x − y ，方向取上侧； （8） ∫∫ Σ + + + + 2 2 2 3 / 2 (x y z ) xdydz ydzdx zdxdy ，其中Σ是 （i）椭球面 x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 1，方向取外侧； （ii）抛物面 + − − = 16 ( 2) 5 1 2 z x ( 0) 9 ( 1) 2 ≥ − z y ，方向取上侧。 解（1）设Ω是Σ所围的空间区域，则 x dydz y dzdx z dxdy 2 2 2 ∫∫ + + Σ = 2(x y z)dxdydz 6 0 dx 0 dy 0 zdz 3a 4 。 a a a + + = = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ Ω （2）设Ω是Σ所围的空间区域，作变换ϕ : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − + = − + = − + w z x y v y z x u x y z ，则 ( , , ) 4 ( , , ) u v w x y z ∂ = ∂ ，且变换ϕ 将Ω变为Ω' ( = { u v, ,w) u + v + w ≤1}，记Ω′′是Ω′ 在第一象限的部分，则 ( ) x − + y z dydz + ( ) y − z + x dzdx + ( ) z − x + y dxdy ∫∫ Σ = 6 1 4 3 3 = = = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ Ω Ω′ Ω′′ dxdydz dudvdw dudvdw 。 6