aP (x2+y2)2 所以 在除去y的负半轴及原点的裂缝xy平面上是某个函数的 全微分 设这个函数为u(x,y),则 (x,y) (x, y)xdx ydy o)x2+ =In(x +y)+C 2 6.设Q(xy)在x平面上具有连续偏导数,曲线积分j2xd+(xy)与 路径无关,并且对任意t恒有 2xydx +o(x, y)dy 2xydx+o(x, y)dy 求Q(x,y) 解因为曲线积分2x+xy)与路径无关,所以=2x,两边 关于x积分,即得到Q(x,y)=x2+(y),其中φ待定。 由条件2h+Qxy)=2+Qxy)b,可得 (t2+o(y)y=(1+o(y)d 两边对t求导,得到21=1+9(1),即9(y)=2y-1,所以 Q(x,y)=x2+2y-1。 7.确定常数λ,使得右半平面x>0上的向量函数r(x,y)=2x(x4+y2)i x2(x4+y2)2j为某二元函数u(x,y)的梯度,并求v(x,y) 解由题意,型2(x+)]=-x(x2+y),即 ax x(x4+y2)2+4Axy2(x2+y2)41=-2x(x4+y2)2-4ax3(x4+y2) 化简后,求得A=-1。这时 (1, y)2xydx-x'dy u(x +C=-x +C=- arctan+C。 8.设一力场为F=(3x2y+8xy2)i+(x3+8x2y+12ye”),证明质点在此场 内移动时,场力所作的功与路径无关。 证设P(x,y)=3x2y+8x2,Q(x,y)=x3+8x2y+12ye”,因为 aP =3x2+16 ox 所以质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关 9.利用 Gauss公式计算下列曲面积分: (1)xd+y2+dhd,E为立方体0≤x,y=sa的表面,方x Q x y xy y P ∂ ∂ = + = − ∂ ∂ 2 2 2 ( ) 2 ， 所以 xdx ydy x y + +2 2 在除去 y的负半轴及原点的裂缝 xy平面上是某个函数的 全微分。 设这个函数为u(x, y)，则 u(x, y) ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 (0,1) 0 1 1 ln( ) 1 2 x y xdx ydy x xdx y ydy x y C x y x x y + = = + = + + + + ∫ ∫ ∫ + 。 6．设Q(x, y)在 xy平面上具有连续偏导数，曲线积分 与 路径无关，并且对任意 恒有 ∫ + L 2xydx Q(x, y)dy t ∫ ∫ + = + (1, ) (0, 0) ( ,1) (0, 0) 2 ( , ) 2 ( , ) t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy ， 求Q(x, y)。 解 因为曲线积分∫ + 与路径无关，所以 L 2xydx Q(x, y)dy x x Q = 2 ∂ ∂ ，两边 关于 x积分，即得到Q(x, y) = x 2 +ϕ( y)，其中ϕ 待定。 由条件∫ + = ∫ + ，可得 (1, ) (0, 0) ( ,1) (0, 0) 2 ( , ) 2 ( , ) t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy ∫ + = ∫ + ， t t y dy y dy 0 1 0 2 ( ϕ( )) (1 ϕ( )) 两边对t求导，得到2t = 1+ϕ(t)，即ϕ( y) = 2y −1，所以 ( , ) 2 1 2 Q x y = x + y − 。 7．确定常数λ ，使得右半平面 上的向量函数 为某二元函数 的梯度，并求 。 x > 0 r i λ ( , ) 2 ( ) 4 2 x y = xy x + y j λ ( ) 2 4 2 − x x + y u(x, y) u(x, y) 解 由题意， x x x y y xy x y ∂ ∂ − + = ∂ ∂[2 ( + ) ] [ ( ) ] 4 2 λ 2 4 2 λ ，即 4 2 2 4 2 1 4 2 5 4 2 1 2 ( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) − − + + + = − + − + λ λ λ λ x x y λxy x y x x y λx x y ， 化简后，求得 λ = −1。这时 u(x, y) 2 2 ( , ) 4 2 4 2 2 (1,0) 0 2 arctan x y xydx x dy y x dy y C C x y x y x − = + = − + = − + + ∫ ∫ +C 。 8．设一力场为 ，证明质点在此场 内移动时，场力所作的功与路径无关。 F (3 8 )i ( 8 12 ) j 2 2 3 2 y = x y + xy + x + x y + ye 证 设 ，因为 y P(x, y) 3x y 8xy , Q(x, y) x 8x y 12ye 2 2 3 2 = + = + + x Q x xy y P ∂ ∂ = + = ∂ ∂ 3 16 2 ， 所以质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关。 9．利用 Gauss 公式计算下列曲面积分： （1） x dydz y dzdx z dxdy ，Σ为立方体0 2 2 2 ∫∫ + + Σ ≤ x, , y z ≤ a 的表面，方 5