(2)∫m(x)x+(y),其中o(x,0y)为连续函数 (3)10x+y2 (6,8)xax t ya 沿不通过原点的路径。 解(1)设P(x,y)=x-y,Q(x,y)=-(x-y), 则=-1=2,所以曲线积分与路径无关 取积分路径为L:y=x,x:0→1,于是 (x-y(dx-dy)=0 (2)设P(x,y)=9(x),Q(x,y)=p(y), 伞参兮=0=,所以曲线积分与路径无关。 则 aP 积分路径为L:折线ABC,其中A(2,1),B(11,C(12),于是 C3)+)+0yb=门90-9) (3)设P(x,y)= x=2,所以曲线积分与路径无关。 取积分路径为L:折线ABC,其中A(10,B(60),C(68),于是 (6.8)xdxt yay=[dx+ 4.证明(2 x cosy+y2cosx)+(2 sinx-x2siny)在整个xy平面上是某个 函数的全微分,并找出这样一个原函数。 证设P(x,y)=2 xcos]+y2cosx,Q(x,y)=2 sinx-x2siny,因为 -2xsin y+2ycos x ao ay 所以(2 xcos y+y2cosx)d+(2 sinx-x2siny)在整个xy平面上是某个函 数的全微分 设这个函数为(x,y),则 u(x,y)= o,o)(2x cos y+y* cos x)dx+(2ysin x-x sin y)dy+C 「。2x+2ynx-x2siny)h=xosy+y2sinx+C。 5证明+在除去y的负半轴及原点的裂缝x平面上是某个函数 的全微分,并找出这样一个原函数。 证设P(x,y)=-x,Q(x,y)=-2,因为（2） ( , ) ϕ( ) φ( ) ，其中 ( , ) x dx + y dy ∫ 2 1 1 2 ϕ( ) x , φ( y) 为连续函数； （3） xdx ydy x y + + ∫ 1 0 2 2 6 8 ( , ) ( , ) ，沿不通过原点的路径。 解（1）设P(x, y) = x − y, Q(x, y) = −(x − y)， 则 x Q y P ∂ ∂ = − = ∂ ∂ 1 ，所以曲线积分与路径无关。 取积分路径为L: y = x, x :0 →1，于是 ( )( ) 0 (1,1) (0,0) − − = ∫ x y dx dy （2）设P(x, y) = ϕ(x), Q(x, y) = φ( y)， 则 x Q y P ∂ ∂ = = ∂ ∂ 0 ，所以曲线积分与路径无关。 取积分路径为L : 折线 ABC ，其中 A(2,1), B(1,1),C(1,2)，于是 ϕ φ ( ) ( ) ( , ) ( , ) x dx + y dy ∫ 2 1 1 2 = + = ∫ ∫ 2 1 1 2 ϕ(x)dx φ( y)dy ∫ − 2 1 [φ(t) ϕ(t)]dt。 （3）设 2 2 2 2 ( , ) , ( , ) x y y Q x y x y x P x y + = + = ， 则 x Q x y xy y P ∂ ∂ = + = − ∂ ∂ 2 3 2 2 ( ) ，所以曲线积分与路径无关。 取积分路径为L : 折线 ABC ，其中 A(1,0), B(6,0),C(6,8)，于是 xdx ydy x y + + ∫ 1 0 2 2 6 8 ( , ) ( , ) 9 36 8 0 2 6 1 = + = + ∫ ∫ y ydy dx 。 4．证明( c 2x os y + + y 2 cos x)dx (2y sin x − x 2 sin y)dy在整个 xy平面上是某个 函数的全微分，并找出这样一个原函数。 证 设P(x, y) 2x cos y y cos x, Q(x, y) 2y sin x x sin y ，因为 2 2 = + = − x Q x y y x y P ∂ ∂ = − + = ∂ ∂ 2 sin 2 cos ， 所以( c 2x os y + + y 2 cos x)dx (2y sin x − x 2 sin y)dy在整个 xy平面上是某个函 数的全微分。 设这个函数为u(x, y)，则 u(x, y) ( , ) 2 2 (0,0) (2 cos cos ) (2 sin sin ) x y = + x y y x dx + y x − x y dy C ∫ + 2 2 2 0 0 2 (2 sin sin ) cos sin x y = + xdx y x − x y dy = x y + y x C ∫ ∫ + 。 5．证明 xdx ydy x y + +2 2 在除去 y的负半轴及原点的裂缝 xy平面上是某个函数 的全微分，并找出这样一个原函数。 证 设 2 2 2 2 ( , ) , ( , ) x y y Q x y x y x P x y + = + = ，因为 4