oP 4y--8 y 取路径L1;x2+4y2=1,逆时针方向,由 Green公式, (x-y)dx+(x+4y)dy r(x-y)dx+(x+4y)dy 令x=cos,y=sint,得到 (x=y)+(x+4)=(x=y)在+(x+4)=21m=z。 (9)设P(x,y) e(xsin y-ycos y) o(x,y) e(xcos y+ ysin y) 则 aP [O )x+y2-x2 (x2+y2)2 取路径L;x2+y2=r2,即x= rcos t,y= rain,t:0→2z,由 Green公式, e [(rsin y-ycos y)dx+(rcos y+ ysin y)dy] X e"[(xsin y-ycos y)dx+(cos y+ ysin y)dy] 于是 a[(rsin y-ycos y)dx+(xcos y+ysin y)dy cos(rsin t)dt, 令r→0,即得到 I=2丌 2.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积: (1)星形线x=acos3t,y=asin3t; (2)抛物线(x+y)2=ax(a>0)与x轴; (3)旋轮线的一段:{x=a(=mD1r02x与x轴。 y=a(-cost) 3a 解(1)S=J-yx=-」J 3 sin'tcos tdt=-na (2)令y=x,则x= 1+y2)0+少3,1:0→+。于是 x=2a2 dt (1+D) (3)S (2-tsint-2cosn)dt= 3Ta' 3.先证明曲线积分与路径无关,再计算积分值:x Q x y y xy x y P ∂ ∂ = + − − = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 ( 4 ) 4 8 ， 取路径L1 : 4 x y 2 + 2 =1，逆时针方向，由 Green 公式， 2 2 ( ) ( 4 ) 4 x y dx x y dy x y − + + = + ∫ L 1 2 2 ( ) ( 4 ) 4 x y dx x y dy x y − + + + ∫ L 。 令 1 cos , sin 2 x = t y = t ，得到 ∫ + − + + L 2 2 4 ( ) ( 4 ) x y x y dx x y dy π π = = + − + + = ∫ ∫ 2 0 2 2 2 1 4 ( ) ( 4 ) 1 dt x y x y dx x y dy L 。 （9）设 2 2 2 2 ( cos sin ) , ( , ) ( sin cos ) ( , ) x y e x y y y Q x y x y e x y y y P x y x x + + = + − = ，则 x Q x y x y x y x y x y x y y y P ∂ ∂ = + + + − + + − = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) [( ) ]cos ( 2 ) sin ， 取路径Lr ：x 2 + y 2 = r 2，即 x = r cost, y = rsin t, t : 0 → 2π , 由 Green 公式， [ ] 2 2 ( sin cos ) ( cos sin ) x e x y y y dx x y y y dy x y − + + + ∫ L [ ] 2 2 ( sin cos ) ( cos sin ) r x e x y y y dx x y y y dy x y − + + = + ∫ L 。 于是 [ ] ∫ + − + + = r x y e x y y y dx x y y y dy I x L 2 2 ( sin cos ) ( cos sin ) ∫ = 2π 0 cos e cos(rsin t)dt r t ， 令r → 0，即得到 I = 2π 。 2．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： （1）星形线 x a = cos 3 3 t, y = a sin t ； （2）抛物线( ) x + = y 2 ax ( ) a > 0 与 x轴； （3）旋轮线的一段： t ⎩ ⎨ ⎧ = − = − (1 cos ), ( sin ), y a t x a t t ∈[ , 0 2π]与 x轴。 解（1） 2 2 2 2 0 1 3 sin cos 2 2 L a S xdy ydx t tdt π 3 2 8 = − = = π a ∫ ∫ 。 （2）令 y = tx，则 2 2 (1 ) , (1 ) t at y t a x + = + = ，t : 0 → +∞ 。于是 2 2 5 0 1 2 (1 ) 6 L t S ydx a dt t +∞ = − = = + ∫ ∫ a 。 （3） 2 2 2 0 1 (2 sin 2cos ) 3 2 2 L a S xdy ydx t t t dt a π = − = − − = π ∫ ∫ 。 3. 先证明曲线积分与路径无关，再计算积分值： （1） ( , ) ( )( ； ( , ) x y − dx − dy ∫ 0 0 1 1 ) 3