初等代数研究 代数式有理式/整式 分式 解析式 无理式一一根式 代数式中不含开方运算的称为有理式，否则称为无理式。 1.整式 整式（多项式）一一F是一个数域，Axy4.2m+Axy.2+.+A,xy小.2(5≥1) 称为数域F上的多项式，其中Axy.2(=1,2,.,5)称为多项式的项，A,称为项的系数，变 数字母x,y,.,二所取的数值都属于数域F,k,l,.,9,都是非负整数。 各个系数都等于零的多项式称为零多项式。零多项式的值总是零。 多项式的次数一—对于非零多项式Axy.2+A,xy.+.+A,xy以.z%(8≥1)， k+,+.+q,(-1,2,.,5)中的最大的非负整数值称为这个多项式的次数。 多项式恒等一数域F上的两个具有相同变数字母的多项式，如果对于变数字母的所有取值，这 两个多项式的值都相等，那么称这两个多项式是恒等的。 定理：以标准形式给出的两个多项式恒等的充分且必要的条件是这两个多项式的对应项分别是具有 相同系数的同类项。（待定系数法的理论依据） 例求证ar2+2bxy+gy2+2k+2y+∫是一个完全平方式的充分必要条件是 ac=b2,ad=d2,cf=e2,并且a,c,∫都是非负实数。 证 )(必要性)如果ar2+2bxy+cy2+2+2ey+f=(4r+By+C},那么 ax+2bxy+cy+2dkx+2ey+f=x+24Bxy+By+2ACx+2BCy+C2 由此可得：a=A2;b=AB,c=B2;d=ACe=BC;∫=C2 因而a,c,f都是非负实数，并且ac=b2,a=d2,gf=e2. (②)（充分性）如果a,c,∫都是非负实数，并且ac=b2,a可=d2,gf=e2,那么 am2+2by+gy2+2d+2ey+f=(Wax)2+2acxy+（WEyj+2√可x+2可y+Fj -(ax+Jey+) 2 初等代数研究 2                     三角式、反三角式 指数式、对数式 超越式 无理式 — —根式 分式 整式 有理式 代数式 解析式 代数式中不含开方运算的称为有理式，否则称为无理式。 ⒈整式 整式（多项式）—— F 是一个数域， ( 1) 1 1 1 2 2 2 A1 x y z + A2 x y z + + A x y z s  s s qs k l s k l  q k l  q   称为数域 F 上的多项式，其中 A x y z (i 1,2, ,s) i i qi k l i  =  称为多项式的项， Ai 称为项的系数，变 数字母 x, y,  ,z 所取的数值都属于数域 F ， i i qi k ,l ,  , 都是非负整数。 各个系数都等于零的多项式称为零多项式。零多项式的值总是零。 多项式的次数——对于非零多项式 ( 1) 1 1 1 2 2 2 A1 x y z + A2 x y z + + A x y z s  s s qs k l s k l  q k l  q   ， k l q (i 1,2, ,s) i + i ++ i −  中的最大的非负整数值称为这个多项式的次数。 多项式恒等——数域 F 上的两个具有相同变数字母的多项式，如果对于变数字母的所有取值，这 两个多项式的值都相等，那么称这两个多项式是恒等的。 定理：以标准形式给出的两个多项式恒等的充分且必要的条件是这两个多项式的对应项分别是具有 相同系数的同类项。（待定系数法的理论依据） 例 求证 ax + 2bxy + cy + 2dx + 2ey + f 2 2 是一个完全平方式的充分必要条件是 2 2 2 ac = b ,af = d ,cf = e ，并且 a, c, f 都是非负实数。 证 ⑴（必要性）如果 ( ) 2 2 2 ax + 2bxy + cy + 2dx + 2ey + f  Ax + By + C ，那么 2 2 2 2 2 2 2 ax + 2bxy + cy + 2dx + 2ey + f  A x + 2ABxy + B y + 2ACx + 2BCy +C 由此可得： 2 2 2 a = A ;b = AB;c = B ;d = AC;e = BC; f = C 因而 a, c, f 都是非负实数，并且 2 2 2 ac = b ,af = d ,cf = e 。 ⑵（充分性）如果 a, c, f 都是非负实数，并且 2 2 2 ac = b ,af = d ,cf = e ，那么 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 ax c y f ax bxy cy dx ey f ax acx y c y af x cf y f = + + + + + + + = + + + + +