初等代数研究 2.分式 有理分式一一两个多项式的比Px少，旦称为有理分式，也可简称为分式。 Q(x,y.,) 有理分式的定义城一在已知数域内，任意一组使分式P工“，已的分母不为零的自变数值， Qx八，.，) 使分式有一个完全确定的值与它对应，所有这样的自变数值组的集合称为这个分式的定义域。 例化简 ala-bya-cXa-d)"b(b-aXb-cXb-d)"clc-aXc-bXc-d)"a(d-aXd-b)d-c) 解 将原式各项通分，得到公分母Q=abcd(a-b(a-c(a-d(b-cb-d(c-d),分子 P=bcd(b-c)(b-d)(c-d)-acd(a-cXa-dyc-d)+abd(a-bXa-dyb-d) -abc(a-b)a-cXb-c) 显然，当a=b时，P=0。因此可以断定P能被a-b整除。同理可知，P能被Q所含有的 每一个二项式因式整除。 如果以Q的所有二项式因式的积除P,可得 P=K(a-b(a-c(a-d0(b-c(b-d(c-d),这里K是零次多项式。 设a=0,b=1,c=-1,d=2,代入P的两个表达式，得到-12=K12,于是K=-1,从而 原式化简为-abca 3.根式 算术根一一n次幂等于A的非负实数a,称为数A的n次算术根，并记作 a=A(A≥0，n∈N,n>),其中n称为根指数，A称为被开方数。 最简根式一一如果根式的被开方数的指数和根指数是互质的，被开方数的每一个因式的指数都小于 根指数，并且被开方数不含有分母，那么称这个根式为最简根式。 -周 例化简 (a+b)-4ab 解 因为(a+b}-4ab≠0，所以，a≠b。因为ab>0,所以，a,b是符号相同的数。 层-层-品-隔-会-4 3初等代数研究 3 ⒉分式 有理分式——两个多项式的比 ( , , , ) ( , , , ) Q x y z P x y z   称为有理分式，也可简称为分式。 有理分式的定义域——在已知数域内，任意一组使分式 ( , , , ) ( , , , ) Q x y z P x y z   的分母不为零的自变数值， 使分式有一个完全确定的值与它对应，所有这样的自变数值组的集合称为这个分式的定义域。 例 化简 a(a b)(a c)(a d ) b(b a)(b c)(b d ) c(c a)(c b)(c d ) d(d − a)(d − b)(d − c) + − − − + − − − + − − − 1 1 1 1 解 将原式各项通分，得到公分母 Q = abcd(a − b)(a − c)(a − d)(b − c)(b − d)(c − d) ，分子 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) abc a b a c b c P bcd b c b d c d acd a c a d c d abd a b a d b d − − − − = − − − − − − − + − − − 显然，当 a = b 时， P  0 。因此可以断定 P 能被 a −b 整除。同理可知， P 能被 Q 所含有的 每一个二项式因式整除。 如果以 Q 的所有二项式因式的积除 P ，可得 P = K(a − b)(a − c)(a − d)(b − c)(b − d)(c − d) ，这里 K 是零次多项式。 设 a = 0,b = 1,c = −1,d = 2, 代入 P 的两个表达式，得到−12 = K 12 ，于是 K = −1 ，从而 原式化简为 abcd 1 − 。 ⒊根式 算术根—— n 次幂等于 A 的非负实数 a ，称为数 A 的 n 次算术根，并记作 a = A(A  0,n  N,n  1) n ，其中 n 称为根指数， A 称为被开方数。 最简根式——如果根式的被开方数的指数和根指数是互质的，被开方数的每一个因式的指数都小于 根指数，并且被开方数不含有分母，那么称这个根式为最简根式。 例 化简 (a b) ab a b b a ab 4 2 + −         − 解 因为 ( ) 4 0 2 a + b − ab  ，所以， a  b 。因为 ab  0 ，所以， a,b 是符号相同的数。 由 ab b ab b a b ab a ab a b a = = = = 2 2 , ； (a + b) − 4ab = a − b 2 ；