的满足条件y(x0)=y0的解y=y(x)在(-∞,+∞)上存在 2.设∫(x)在[0,+∞)上连续,且limf(x)=0,求证:方程+y=f(x)的任意解 y=y(x)均有limy(x)=0 3.设方程=x2f()中,f(y)在(-∞,+∞)上连续可微,且y(y)<0,(y≠0).求 证:该方程的任一满足初值条件y(x0)=y0的解y(x)必在区间[x,+∞)上存在 常微分方程综合练习参考答案 、填空题 1.C1Ly1(x)-y2(x)]+y1(x)2.xoy平面3.充分4.n5.线性无关 6.xoy平面7.y=kx,k=0,±1,±2 8.y=k丌,k=0,±1,±2, 或 x=+kπ,k=0,±1,±2, 9.充分必要10.n 计算题 1.解:令u=2,则y=n+x 当tanu≠0时 等号两边积分 Inin u4=lnlx+ln(C≠0 y smn一=Cx dE 2.解:令z=siny,则可=cosy 代入方程得 cosx=二 即 一一d 再令n=2-,则得 dx u=e -cos xe!dx+Cu)2 的满足条件 0 0 y(x ) = y 的解 y = y(x) 在 (−, + ) 上存在． 2．设 f (x) 在 [0, + ) 上连续，且 lim ( ) = 0 →+ f x x ，求证：方程 ( ) d d y f x x y + = 的任意解 y = y(x) 均有 lim ( ) = 0 →+ y x x ． 3．设方程 ( ) d d 2 x f y x y = 中， f ( y) 在 (−, + ) 上连续可微，且 yf ( y)  0 ，( y  0) ．求 证：该方程的任一满足初值条件 0 0 y(x ) = y 的解 y(x) 必在区间 [ , ) x0 +  上存在． 常微分方程综合练习参考答案 一、填空题 1． [ ( ) ( )] ( ) 1 1 2 1 C y x − y x + y x 2． xoy 平面 3．充分 4． n 5．线性无关 6． xoy 平面 7． y = k ， k = 0, 1,  2,  8． y = k , k = 0, 1,  2,  ； 或 , 0, 1, 2, 2 +  =    x = k k 9．充分必要 10．n 二、计算题 1．解：令 x y u = ，则 y  = u + xu  u x u x tan d d = 当 tan u  0 时 等号两边积分 1 d tan d C x x u u = +   ln sin u = ln x + ln C C  0 Cx x y sin = 2．解：令 z = sin y ，则 x y y x z d d cos d d = 代入方程得 z x z x z − cos = d d 2 即 z z x x z cos d d 2 − = 再令 −1 u = z ，则得 u x x u cos d d + = −  +  −  = − e ( cos e d ) 1 1d 1d u x x C x x  = − + − e ( cos e d ) C1 x x x x