8.设f(x)在{a,b连续,且f(a)=0,求证 f(a)dr≤ max 9.设0<6<1,求证 (1-t2)t 10.(1)设f(x)在[a,b上连续,且对{a,b上任一连续函数g(x)均 有mf(x)(x)dx=0,证明f(x)=0,x∈a,l 2)设f(x)在a,b上连续,且对所有那些在{a,上满足附加条件g(a) 9(b)=0的连续函数g(x),有f()(x)d=0证明:在,l上同样 有f(x)=0 11.设f(x),9(x)在{a,连续,求证: f(a)g(a)dr<1/f(a)d. 而且等号成立当且仅当9(x)=f(x)或f(x)=g(x),其中入为常数 12.设f(x),9(x)在[a,1连续,求证 而且等号成立当且仅当g(x)=f(x)(A≥0常数 13.设f(x)在[0,1连续,f(x)≥a>0,求证: f()f(a)dx 14.设y=y(x)(x≥0)是严格单调增加的连续函数,y(0) o(y)是它的反函数,证明 y(x)d+/o()y2ab(a≥0b≥0 38. 设f 0 (x)在[a, b]连续，且f(a) = 0，求证： ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z b a f(x)dx ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ (b − a) 2 2 max a≤x≤b ¯ ¯f 0 (x) ¯ ¯ . 9. 设0 < δ < 1，求证 limn→∞ R 1 δ (1 − t 2 ) ndt R 1 0 (1 − t 2) ndt = 0. 10．(1)设f(x)在[a, b]上 连 续 ， 且 对[a, b]上 任 一 连 续 函 数g(x)均 有 R b a f(x)g(x)dx = 0，证明f(x) ≡ 0, x ∈ [a, b]. (2)设f(x)在[a, b]上连续，且对所有那些在[a, b]上满足附加条件g(a) = g(b) = 0的 连 续 函 数g(x)， 有R b a f(x)g(x)dx = 0.证 明 ： 在[a, b]上 同 样 有f(x) ≡ 0. 11．设f(x), g(x)在[a, b]连续，求证： ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z b a f(x)g(x)dx ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ sZ b a f 2(x)dx · sZ b a g 2(x)dx 而且等号成立当且仅当g(x) = λf(x)(或f(x) = λg(x))，其中λ为常数。 12. 设f(x), g(x)在[a, b]连续，求证： sZ b a [f(x) + g(x)]2dx ≤ sZ b a f 2(x)dx + sZ b a g 2(x)dx 而且等号成立当且仅当g(x) = λf(x)(λ ≥ 0常数). 13. 设f(x)在[0, 1]连续，f(x) ≥ α > 0，求证： Z 1 0 1 f(x) dx ≥ 1 R 1 0 f(x)dx . 14. 设y = ϕ(x)(x ≥ 0)是严格单调增加的连续函数，ϕ(0) = 0, x = φ(y)是它的反函数，证明 Z a 0 ϕ(x)dx + Z b 0 φ(y)dy ≥ ab(a ≥ 0, b ≥ 0). 3