2.设f(x)在{a,连续,∫f2(x)dx=0,证明f(x)在a,上恒为零 3.举例说明f2(x)在a,b可积,但f(x)在[a,b不可积 4.比较下列各对定积分的大小 ra (2)J2 5.证明下列不等式(设所给的积分存在); (1)1≤/edr≤e; 1≤J2 ≤盘 (3)≤ √ (4)3E≤J0 证明 (1)im/ 2)lim o sin"dx=0 n→00 7.设f(x),g(x)在{a,b连续,证明 in∑∫(s)9(0)△n;=/fa)(a)dx 其中a rn=b,△x;=x 5,B1∈[x-1,xl](i 1,2,…,n),A=max{△r}2. 设f(x)在[a, b]连续，R b a f 2 (x)dx = 0，证明f(x)在[a, b]上恒为零. 3. 举例说明f 2 (x)在[a, b]可积，但f(x)在[a, b]不可积. 4. 比较下列各对定积分的大小： (1) R 1 0 xdx , R 1 0 x 2dx； (2) R π 2 0 xdx, R π 2 0 sin xdx； (3) R −1 −2 ( 1 3 ) xdx, R 1 0 3 xdx . 5．证明下列不等式（设所给的积分存在）； (1) 1 ≤ R 1 0 e x 2 dx ≤ e； (2) 1 ≤ R π 2 0 sin x x dx ≤ π 2； (3)π 2 6 R π 2 0 √ dx 1− 1 2 sin2 x 6 √π 2 ； (4) 3√ e ≤ R 4e 0 ln √ xdx x ≤ 6. 6．证明： (1) limn→∞ R 1 0 x n 1+x dx = 0； (2) limn→∞ R π 2 0 sinn xdx = 0. 7．设f(x), g(x)在[a, b]连续，证明 lim λ→0 Xn i=1 f(ξi)g(θi)∆xi = Z b a f(x)g(x)dx 其中a = x0 < x1 < · · · < xn = b, ∆xi = xi − xi−1, ξi , θi ∈ [xi−1, xi ](i = 1, 2, · · · , n), λ = max 1≤i≤n {∆xi}. 2