第1期 李俊泽，等：一种基于二维GARCH模型的图像去噪方法 ·63· 处理的效果)。在图像去噪领域，基于小波变换的 yI~N(O,hy) (3) 方法已经成为了主流2。例如Donoho等提出阈值 由于条件方差h,非负，那么模型参数需满足式(4)： 去噪算法[)以及Chang等在此基础上改进得到的 a>0 阈值萎缩算法[46)。这些去噪算法主要包括3个步 au≥0，kl∈A 骤：首先，对含噪图像进行小波变换：然后，对各细节 Bu≥0，kl∈A2 (4) 子带上小波系数进行阈值萎缩处理：最后，通过小波 同时为了确保2D-GARCH(P1,P2,91,92)过程 逆变换重构去噪后图像。然而阈值萎缩处理主要存 具有广义平稳性9)，需保证 在2个不足：1)如何选择一个最合适的阈值一直是 ∑au+∑Bu<1 (5) 个难以解决的问题：2)在不同的尺度上，小波系数 HeA kHe2 的先验统计模型并不能和信号很好地匹配)。研 式(4)、(5)是2D-GARCH(P1,P2,91,92)模型 究发现，相较于目前广泛用于小波系数建模的广义 有意义且具有广义平稳性的充要条件，下文的所有 高斯模型(GGM),二维广义自回归条件异方差(2D 推导都在此约束条件下进行。 GARCH)模型能够更准确地描述图像小波系数的统 然而统计发现各子带上的小波系数的均值 计特性，是一种更加优秀的小波系数先验模型，故本 E(y:)≠0，那么首先对y:进行相应的去均值处理。 文使用2D-GARCH模型对小波系数进行建模。1D 令表示二维线性回归的新息： GARCH模型)在金融时间序列建模中已经得到了 2g=y-rgTb (6) 广泛的应用，Noiboar等最早将1D-GARCH模型扩 式中：rg=[y1-1-]称为解释变量向 展为二维模型并用于图像的畸点探测[)，Amirma- 量，b=[b,b2b3]I为未知参数向量。那么新息 zlaghani等利用2D-GARCH模型抑制合成孔径雷达 服从式(1)、(2)描述的纯2D-GARCH(P1P2,91, 图像上的斑点噪声[)。本文利用基于果蝇优化 92)模型，yg=g+r'b服从2D-GARCH(P1P2,91, 算法的极大似然估计准确求解2D-GARCH模型的 q2)回归模型，即y:的均值服从式(6)所描述的模 参数，获得了各细节子带的先验统计模型，在此基础 型，方差服从式(1)、(2)描述的模型，其条件分布为 上再通过最小均方误差估计对原始图像的小波系数 yI中i~N(rab,ha) (7) 进行估计，从而达到去噪目的。 根据式(7)可知y:的条件概率密度函数的表达式为 1 2D-GARCH模型的小波系数建模 f八yg1r,）= exp((ra-rb) 1 -)(8) √2rh 1.12D-GARCH模型 式中： 假设y:是二维的随机变量且均值为零即 hg=ao+ ∑au(-w-l-rtw-b)'+∑Buh-l E(y)=0,若y有如下形式则称其服从纯2D HeA2 GARCH(p1P2,91,92)模型9： (9) yg=√hgE (1) 求解上述模型，即需要估计出模型中的未知参 hg=an+∑auYi--+∑Bht 数T={&0,&o1,,a1eB,…B,b。本文 (2) 采用极大似然估计求解模型参数，现定义样本空间： 式中： M×N:Φ={l1≤i≤M,1≤j≤N A1=1hl10≤k≤91,0≤1≤92，(l)≠(0,0)} 根据式(8)、(9)可知关于参数T的对数极大似然函 ,={l10≤k≤P1,0≤1≤P2,(kl)≠(0,0)} 数为 h:是y的条件方差，e:是独立同分布的二维 F(T)=Πygr,)= 标准正态分布，即e~N(0,1),(P1P2,91,92)为 模型的阶数。从式(2)可以看出，每一个确定的空 og))- 间位置上的变量值y:的条件方差h,是由与之邻近 (+N)log(2)+og(h 的变量值y-k-和其条件方差h--决定的。现定 义随机变量y:邻近位置上的变量值和条件方差的 A,-rb2,） (10) 集合为 为了完成对各细节子带上小波系数的建模，必 =yi-kj-D e,hi--DE 须求出使得上述对数极大似然函数取得最大值时的 根据式(1)、(2)可知y:的条件分布为 参数T。处理的效果咱员暂 遥 在图像去噪领域袁基于小波变换的 方法已经成为了主流咱圆暂 遥 例如 阅燥灶燥澡燥 等提出阈值 去噪算法咱 猿暂 以及 悦澡葬灶早 等在此基础上改进得到的 阈值萎缩算法咱源鄄远暂 遥 这些去噪算法主要包括 猿 个步 骤院首先袁对含噪图像进行小波变换曰然后袁对各细节 子带上小波系数进行阈值萎缩处理曰最后袁通过小波 逆变换重构去噪后图像遥 然而阈值萎缩处理主要存 在 圆 个不足院员冤 如何选择一个最合适的阈值一直是 个难以解决的问题曰圆冤 在不同的尺度上袁小波系数 的先验统计模型并不能和信号很好地匹配咱苑暂 遥 研 究发现袁相较于目前广泛用于小波系数建模的广义 高斯模型渊郧郧酝冤 袁二维广义自回归条件异方差渊圆阅鄄 郧粤砸悦匀冤模型能够更准确地描述图像小波系数的统 计特性袁是一种更加优秀的小波系数先验模型袁故本 文使用 圆阅鄄郧粤砸悦匀 模型对小波系数进行建模遥 员阅鄄 郧粤砸悦匀 模型咱愿暂在金融时间序列建模中已经得到了 广泛的应用袁晕燥蚤遭燥葬则 等最早将 员阅鄄郧粤砸悦匀 模型扩 展为二维模型并用于图像的畸点探测咱怨暂 袁粤皂蚤则皂葬鄄 扎造葬早澡葬灶蚤 等利用 圆阅鄄郧粤砸悦匀 模型抑制合成孔径雷达 图像上的斑点噪声咱员园鄄员员暂 遥 本文利用基于果蝇优化 算法的极大似然估计准确求解 圆阅鄄郧粤砸悦匀 模型的 参数袁获得了各细节子带的先验统计模型袁在此基础 上再通过最小均方误差估计对原始图像的小波系数 进行估计袁从而达到去噪目的遥 员摇 圆阅鄄郧粤砸悦匀 模型的小波系数建模 员援员摇 圆阅鄄郧粤砸悦匀 模型 摇 摇 假设 赠蚤躁 是二维的随机变量且均值为零即 耘渊赠蚤躁冤 越 园袁 若 赠蚤躁 有如下形式则称其服从纯 圆阅鄄 郧粤砸悦匀渊 责员 袁责圆 袁择员 袁择圆 冤 模型咱怨暂 院 赠蚤躁 越 澡蚤躁 着蚤躁 渊员冤 澡蚤躁 越 琢园 垣 噪造 移沂撰员 琢噪造赠圆 蚤原噪袁躁原造 垣 噪造 移沂撰圆 茁噪造澡蚤原噪袁躁原造 渊圆冤 式中院 撰员 越 喳噪造 渣 园 臆 噪 臆 择员 袁园 臆 造 臆 择圆 袁渊噪造冤 屹 渊园袁园冤 札 撰圆 越 喳噪造 渣 园 臆 噪 臆 责员 袁园 臆 造 臆 责圆 袁渊噪造冤 屹 渊园袁园冤 札 摇 摇 澡蚤躁 是 赠蚤躁 的条件方差袁 着蚤躁 是独立同分布的二维 标准正态分布袁即 着蚤躁 耀 篆渊园袁员冤 袁 渊责员 袁责圆 袁择员 袁择圆 冤 为 模型的阶数遥 从式渊圆冤可以看出袁每一个确定的空 间位置上的变量值 赠蚤躁 的条件方差 澡蚤躁 是由与之邻近 的变量值 赠蚤原噪袁躁原造 和其条件方差 澡蚤 原噪袁躁原造 决定的遥 现定 义随机变量 赠蚤躁 邻近位置上的变量值和条件方差的 集合为 鬃蚤躁 越 喳 赠蚤原噪袁躁原造 { } 噪袁造沂撰员 袁 澡蚤原噪袁躁原造 { } 噪袁造沂撰圆 札 根据式渊员冤尧渊圆冤可知 赠蚤躁 的条件分布为 赠蚤躁 渣 鬃蚤躁 耀 篆渊园袁澡蚤躁冤 渊猿冤 由于条件方差 澡蚤躁 非负袁那么模型参数需满足式渊源冤院 琢园 跃 园 琢噪造 逸 园袁噪造 沂 撰员 茁噪造 逸 园袁噪造 沂 撰圆 渊源冤 摇 摇 同时为了确保 圆阅鄄郧粤砸悦匀 渊责员 袁责圆 袁择员 袁择圆 冤 过程 具有广义平稳性咱怨暂 袁需保证 噪造 移沂撰员 琢噪造 垣 噪造 移沂撰圆 茁噪造 约 员 渊缘冤 摇 摇 式渊源冤尧渊缘冤 是 圆阅鄄郧粤砸悦匀 渊责员 袁责圆 袁择员 袁择圆 冤 模型 有意义且具有广义平稳性的充要条件袁下文的所有 推导都在此约束条件下进行遥 然而统计发现各子带上的小波系数的均值 耘渊赠蚤躁冤 屹 园袁那么首先对 赠蚤躁 进行相应的去均值处理遥 令 扎蚤躁 表示二维线性回归的新息院 扎蚤躁 越 赠蚤躁 原 则蚤躁 栽 遭 渊远冤 式中院 则蚤躁 越 咱赠蚤袁躁原员 赠蚤原员袁躁 赠蚤原员援躁原员 暂 栽 称为解释变量向 量袁 遭 越 咱遭员 遭圆 遭猿 暂 栽 为未知参数向量遥 那么新息 扎蚤躁 服从式渊员冤尧渊圆冤描述的纯 圆阅鄄郧粤砸悦匀 渊责员 袁责圆 袁择员 袁 择圆 冤 模型袁 赠蚤躁 越 扎蚤躁 垣 则蚤躁 栽 遭 服从 圆阅鄄郧粤砸悦匀 渊责员 袁责圆 袁择员 袁 择圆 冤 回归模型袁即 赠蚤躁 的均值服从式渊远冤所描述的模 型袁方差服从式渊员冤尧渊圆冤描述的模型袁其条件分布为 赠蚤躁 渣 鬃蚤躁 耀 篆渊则蚤躁 栽 遭袁澡蚤躁冤 渊苑冤 根据式渊苑冤可知 赠蚤躁 的条件概率密度函数的表达式为 枣渊赠蚤躁 渣 则蚤躁袁鬃蚤躁冤 越 员 圆仔澡蚤躁 藻曾责渊 原 渊赠蚤躁 原 则蚤躁 栽 遭冤圆 圆澡蚤躁 冤 渊愿冤 式中院 澡蚤躁 越 琢园 垣 噪造 移沂撰员 琢噪造渊赠蚤 原噪袁躁原造 原 则 栽 蚤原噪袁躁原造遭冤 圆 垣 噪造 移沂撰圆 茁噪造澡蚤原噪袁躁原造 渊怨冤 摇 摇 求解上述模型袁即需要估计出模型中的未知参 数 祝 越喳 喳琢园 袁琢园员 袁噎袁琢择员择圆 袁茁园员 袁噎袁茁责员责圆 札 袁遭札 遥 本文 采用极大似然估计求解模型参数袁现定义样本空间院 酝 伊 晕院椎 越 喳蚤躁 渣 员 臆 蚤 臆 酝袁员 臆 躁 臆 晕札 根据式渊愿冤尧渊怨冤可知关于参数 祝 的对数极大似然函 数为 蕴蕴云渊祝冤 越 仪 蚤躁沂椎 枣渊赠蚤躁 渣 则蚤躁袁鬃蚤躁冤 越 移 蚤躁沂椎 造燥早渊枣渊赠蚤躁 渣 则蚤躁袁鬃蚤躁冤 冤 越 原 员 圆 咱 渊酝 垣 晕冤造燥早渊圆仔冤 垣 移 蚤躁沂椎 造燥早渊澡蚤躁冤 暂 原 移 蚤躁沂椎 渊 渊赠蚤躁 原 则蚤躁 栽 遭冤圆 辕 渊圆澡蚤躁冤 冤 渊员园冤 摇 摇 为了完成对各细节子带上小波系数的建模袁必 须求出使得上述对数极大似然函数取得最大值时的 参数 祝 遥 第 员 期摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 李俊泽袁等院 一种基于二维 郧粤砸悦匀 模型的图像去噪方法 窑远猿窑