例2.14:设(X,Y)的密度函数为 0<x<y<+∞ p(x,y 0其它 求:Px(x),P2(y) 解:P2(x)=p(xy)d tedy x>0xe-xx>0 ≤0 Pr(y 0 ≤0 五、随机变量的独立性 P(AB)=P(A)P(B),称AB独立。 定义26:若事件{X≤x},{Y≤y独立,即 P{X≤x,Y≤y=P{X≤xP{Y≤y},Vx,y 称随机变量XY(相互)独立 等价定义 F(x,y)=Fr(xF(), Vx,y p(x,y)=pr(x)p(), Vx,y PiX=x,, r=yi )=PiX=x Pir =y),,,y, 例25:设(XY)~N(,A2,G2,a2,p) 证:XyY独立分p=0 证明 (x)=「p(x,y)d例 2.14：设(X,Y)的密度函数为 ； ⎩ ⎨ ⎧ < < < +∞ = − 0 其它 0 ( , ) xe x y p x y y 求： pX (x), pY ( y) 。 解： pX (x) = ⎩ ⎨ ⎧ ≤ > = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > = − +∞ +∞ − −∞ ∫ ∫ 0 0 0 0 0 0 ( , ) x xe x x xe dy x p x y dy x x y ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > = = +∞ − − −∞ ∫ ∫ 0 0 0 2 1 0 0 0 ( ) ( , ) 2 0 y y e y y xe dx y p y p x y dx y y y Y 五、 随机变量的独立性： P(AB) = P(A)P(B) ，称 A,B 独立。 定义 2.6：若事件{X ≤ x},{Y ≤ y}独立，即： P{X ≤ x,Y ≤ y} = P{X ≤ x}P{Y ≤ y} ,∀x, y 称随机变量 X,Y（相互）独立。 等价定义： F x y F x F y x y X Y ( , ) = ( ) ( ), ∀ , p x y p x p y x y X Y ( , ) = ( ) ( ), ∀ , i j i j i j P{X = x ,Y = y } = P{X = x }P{Y = y } ,∀x , y 。 例 2.15：设（X,Y）～ ( , , , , ) 2 2 2 N µ1 µ2 σ1 σ ρ 证：X,Y 独立⇔ ρ = 0 证明： 2 1 2 1 2 ( ) 2 1 1 ( ) ( , ) σ µ πσ − ∞ − + −∞ = = ∫ x X p x p x y dy e