《数学分析》教案 第十章定积分的应用 海南大学数学系 。它们所成的平面形如国65所示 解联立方程 y=ex 解得交点e,》、Le)、,e)、e,),故所求面积 o+妆 1(ex-s+e-e 例4、设xca,a>0,x+g≥lnx,求使 I=∫(e+g-lnxk 最小的k与9。 解：若使积分I最小，此时直线y=+q应与曲线y=血x相切，故 k=(Inx)= ,切点坐标为《'，-血，故切线方程为 y=kx-1-Ink (g=-1-ln) 从而 I=[(kx+q-InxXdx=*(b2-a2)-(1+InkX(b-a)-(blnb-alna-b+a) 令 盟-0-62-0 2 2《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 海南大学数学系 5 x y e = 。它们所围成的平面图形如图 6.5 所示。 解联立方程 1 e y x y ex y ex x y e  =     =   =   =  解得交点 1 ( ,1) e − 、 1 (1, ) e − 、(1, ) e 、( ,1) e ，故所求面积 1 1 1 1 e e x e ex dx dx ex e x  − = − + − =   1 1 1 1 1 ( ) ( ) e e e x ex dx dx e e ex x e − − − + − = −   例 4、设 x a b  ,  ，a  0，kx q x +  ln ，求使 ( ln ) b a I kx q x dx = + −  最小的 k 与 q 。 解 ：若使积 分 I 最小，此 时直 线 y kx q = + 应与曲线 y x = ln 相切 ，故 1 k x (ln ) x = =  ，切点坐标为 1 ( , ln ) k k − − ，故切线方程为 y kx k q k = − − = − − 1 ln ( 1 ln ) 从而 2 2 ( ln ) ( ) (1 ln )( ) ( ln ln ) 2 b a k I kx q x dx b a k b a b b a a b a = + − = − − + − − − − +  令 1 2 2 ( ) 0 2 dI b a b a dk k − = − − = 解得驻点 2 k a b = + ，此时 ln 1 2 a b q + = − ， 2 2 2 0 d I b a dk k − =  ，所以当 2 k a b = +