银川科技职业学院《高链数学》未 第九章重积分 作和 f(m)o i=l 如果当各小闭区域的直径中的最大值入趋于零时，这和的极限总存在，则称此 极限为函数x,)在闭区域D上的二重积分，记作川fx,o,即 D ∬fco=m2f5Aa. D x,)被积函数，x,)do被积表达式，do面积元素，x,y积分变量，D积分区域， 积分和 直角坐标系中的面积元素： 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D,那么除了包含边 界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域.设矩形闭区域△σ 的边长为△x,和△，则△o=△x△，因此在直角坐标系中，有时也把面积元素do 记作dkdy,而把二重积分记作 ∬fxk D 其中dkdy叫做直角坐标系中的面积元素 二重积分的存在性：当x,y)在闭区域D上连续时，积分和的极限是存在 的，也就是说函数x,y)在D上的二重积分必定存在.我们总假定函数x,) 在闭区域D上连续，所以x,)在D上的二重积分都是存在的. 二重积分的几何意义：如果x,y)≥0，被积函数x,y)可解释为曲顶柱体的 在点(x,)处的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是柱体的体积.如果x,) 是负的，柱体就在xOy面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二 重积分的值是负的 二 二重积分的性质 性质1设c1、c2为常数，则 [6fx+ogxo=G∬fxo+G∬gx,do 0 0 0 性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的 二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和.例如D分为两个闭区域D, 与D2,则 xia=ia+∬fco D 性质3da=aa=o(o为D的面积 第3页银川科技职业学院《高等数学》教案 第九章 重积分 第 3 页 作和 i i i n i f      ( , ) 1  如果当各小闭区域的直径中的最大值  趋于零时 这和的极限总存在 则称此 极限为函数 f(x y)在闭区域 D 上的二重积分 记作 f x y d D  ( , )  即 i i i n D i f x y d f          ( , ) lim  ( , ) 1 0  f(x y)被积函数 f(x y)d被积表达式 d面积元素 x y 积分变量 D 积分区域 积分和 直角坐标系中的面积元素 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D 那么除了包含边 界点的一些小闭区域外 其余的小闭区域都是矩形闭区域 设矩形闭区域i 的边长为xi和yi  则ixiyi  因此在直角坐标系中 有时也把面积元素 d 记作 dxdy 而把二重积分记作 f x y dxdy D  ( , ) 其中 dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素 二重积分的存在性 当 f(x y)在闭区域 D 上连续时 积分和的极限是存在 的 也就是说函数 f(x y)在 D 上的二重积分必定存在 我们总假定函数 f(x y) 在闭区域 D 上连续 所以 f(x y)在 D 上的二重积分都是存在的 二重积分的几何意义 如果 f(x y)0 被积函数 f(x y)可解释为曲顶柱体的 在点(x y)处的竖坐标 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积 如果 f(x y) 是负的 柱体就在 xOy 面的下方 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积 但二 重积分的值是负的 二 二重积分的性质 性质 1 设 c1、c2为常数 则 c f x y c g x y d c f x y d c g x y d D D D    [ ( , ) ( , )]  ( , )  ( , ) 1 2 1 2  性质 2 如果闭区域 D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域 则在 D 上的 二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和 例如 D 分为两个闭区域 D1 与 D2 则 f x y d f x y d f x y d D D D      1 2 ( , ) ( , ) ( , )  性质 3        D D 1 d d ( 为 D 的面积)