银川科技职业学院《高签数学》救朱 第九章重积分 9.1二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1.曲顶柱体的体积 设有一立体，它的底是xOy面上的闭区域D,它的侧面是以D的边界曲线 为准线而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面=x,),这里x,y20且在D 上连续.这种立体叫做曲顶柱体.现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积 首先，用一组曲线网把D分成n个小区域： △01，△02，··，△0m 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于z轴的柱面，这些柱面 把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体.在每个△o,中任取一点(5，n),以f(5 1,7)为 高而底为△o,的平顶柱体的体积为：f(5i,7)△o(=l,2,·,n) 这个平顶柱体体积之和：V2f作)△G i=l 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值.为求得曲顶柱体体积的精确值，将分 制加密，只需取极限，即V=m乞fG,n)△a, 1→0=】 其中入是个小区域的直径中的最大值. 2.平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D,它在点(x,)处的面密度为p(x, 以，这里px,y少>0且在D上连续.现在要计算该薄片的质量M 用一组曲线网把D分成n个小区域△o1,△o2,·,△om· 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量：p51,7)△o1· 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值：M≈∑p5,)△o,. i=l 将分割加细，取极限，得到平面薄片的质量M=lm∑p5,)△o, 1-→0=1 其中入是个小区域的直径中的最大值 定义设x,y)是有界闭区域D上的有界函数.将闭区域D任意分成n个 小闭区域 △01，△02，·，△0m 其中△o;表示第i个小区域，也表示它的面积.在每个△oi上任取一点(5，， 第2页银川科技职业学院《高等数学》教案 第九章 重积分 第 2 页 §9 1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1 曲顶柱体的体积 设有一立体 它的底是 xOy 面上的闭区域 D 它的侧面是以 D 的边界曲线 为准线而母线平行于 z 轴的柱面 它的顶是曲面 zf(x y) 这里 f(x y)0 且在 D 上连续 这种立体叫做曲顶柱体 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积 首先 用一组曲线网把 D 分成 n 个小区域：  1  2      n  分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 作母线平行于 z 轴的柱面 这些柱面 把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体 在每个 i中任取一点( i   i) 以f ( i   i)为 高而底为 i 的平顶柱体的体积为 ： f ( i   i) i (i1 2     n ) 这个平顶柱体体积之和： i i i n i V  f      ( , ) 1  可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值 为求得曲顶柱体体积的精确值 将分 割加密 只需取极限 即 i i i n i V f         lim  ( , ) 1 0  其中  是个小区域的直径中的最大值 2 平面薄片的质量 设有一平面薄片占有 xOy 面上的闭区域 D 它在点(x y)处的面密度为 (x y) 这里 (x y)0 且在 D 上连续 现在要计算该薄片的质量 M 用一组曲线网把 D 分成 n 个小区域  1  2      n  把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量 ( i   i) i  各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值 i i i n i M        ( , ) 1  将分割加细 取极限 得到平面薄片的质量 i i i n i M          lim  ( , ) 1 0  其中  是个小区域的直径中的最大值 定义 设 f(x y)是有界闭区域 D 上的有界函数 将闭区域 D 任意分成 n 个 小闭区域  1  2      n  其中 i 表示第 i 个小区域 也表示它的面积 在每个 i 上任取一点( i  i)