、第二类换元法 拆微法:P24 从积分jcos2t出发,从两个方向用凑微法计算,即 JVi-x'dr==1-sin Id sint=cos'idr 2(+)b=2+1mx+ 引出拆微原理 Th2设x=Q(1)是单调的可微函数,并且p()≠0,又[(1)]q'(1)具有原函数.则有 换元公式∫(x)=o(l(M1((证)参P245 常用代换有所谓无理代换,三角代换,双曲代换,倒代换,万能代换, Euler代换等我们着 重介绍三角代换和无理代换 1.三角代换:P245 )正弦代换:正弦代换简称为“弦换”.是针对型如Va2-x2(a>0)的根式施 行的,目的是去掉根号.方法是:令x= a sin t,(a>0),则 a--x=acost. dx= acos tdt. t= arcsin d x 例27 (a>0).解法一直接积分;解法二用弦换 sin t cos t 例28 dt=2t+c=2 arcsin√x+c x(1-x) sin t cos t r=x-1 例29「√2+2x-xd=」 cos ud,3 3 u+-sin 2u+ arcsin +2x-x-+C (2)正切代换:正切代换简称为“切换”.是针对型如√a2+x2(a>0)的根式施行的 目的是去掉根号.方法是:利用三角公式sec21-g2t=1,即1+g2t=sec2t,令 x=ag,=aec2h,此时有√a2+x2= a sect,t=arc0 变量还原时二、 第二类换元法 —— 拆微法：P244 从积分 ∫ cos 2 tdt 出发，从两个方向用凑微法计算，即 ∫ ∫ − −==== = dxx tdt tx 1 sinsin1 2 sin 2 = tdt ∫ 2 cos = = ∫ + ++= ,2sin 4 1 2 1 )2cos1( 2 1 cttdtt 引出拆微原理. Th2 设 = ϕ tx )( 是单调的可微函数,并且ϕ′ t ≠ ;0)( 又 ϕ ϕ′ ttf )()]([ 具有原函数. 则有 换元公式 (证)参 P245. ∫ ∫ − = = ′ .])()]([[)( )( 1 xt dtttfdxxf ϕ ϕϕ 常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler 代换等.我们着 重介绍三角代换和无理代换. 1. 三角代换: P245. ⑴ 正弦代换: 正弦代换简称为“弦换”. 是针对型如 22 − xa a > )0( 的根式施 行的, 目的是去掉根号. 方法是: 令 = atax > )0( ,sin , 则 ,cos 22 =− taxa = tdtadx ,cos .arcsin a x t = 例 27 ∫ − , 22 xa dx a > ).0( 解法一 直接积分; 解法二 用弦换. 例 28 ∫ ∫ ====== =+= + − = ctdt cx tt tt xx dx tx arcsin22 cossin cossin 2 )1( 2 sin . 例 29 ∫ ∫ ∫ −= = −−=−+ ===== − ===== xt ut dxxx dxx dtt sin3 2 1 2 2 22 )1(3 3 ∫ +−+ − − − = ==++= cxx xx cuuudu 2 2 22 2 1 3 1 arcsin 2 3 2sin 4 3 2 3 cos3 " . ⑵ 正切代换: 正切代换简称为“切换”. 是针对型如 22 + xa a > )0( 的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式 sec ,1 即 令 2 2 ttgt =− 1 ,sec 2 2 =+ tttg x = atgt, = sec 2 tdtadx . 此时有 ,sec 22 =+ taxa . a x = arctgt 变量还原时, 90