240 高等数学重点难点100讲 ①画出草图,求出曲线交点; ②按积分变量的选取原则选取适当的积分变量,并确定其变化区间; ③若不论选择哪个变量,都要分块,则必须确定分几块计 算,并确定相应部分的面积元素与积分限,并由此计算所确定的 3+/3 定积分. (2)本题草图如图66-5所示 由 x=2y2-8y+6解出二曲线交点的纵坐标为y=3 ±√3.显然应选取积分变量为y,则y的变化区间为[3 3,3+√3]若选积分变量为x,则要分成[-2,6-4√3] 及[6-4√3,6+4√3]两块)而在[3-√3,3+√3]上 图66-5 相应于小区间[y,y+dy]的面积元素dA=[2y2-8y+6-y2+2yJdy=[y2-6y+ 6]dy,故 A 6y+6d y3-3y2+6y] 例2计算下列平面图形的面积: (1)平面图形由抛物线y=2-x2与直线y=x围成; 算如所示两曲线交点由方2=0和4处两条切线细成 (2)平面图形由抛物线y=x2-5x+4与其在点 解出,其坐标分别为(-2, 2)、(1,1).显然选取x为积分变量不须分块,其x的变化区间为[-2,1],相应于[-2,1]上 任一小区间[x,x+dx]的面积元素dA=(2 )dx,故 A=|(2-x2-x)dx=[2x 2 图66-6 图66-7 (2)如图66-7所示,先求出x=0和x=5时曲线上对应点(0,4),(5,4)处的切线因 y=2x-5,所以y(0)=-5,y(5)=5,故所求切线分别为y-4=-5x及y-4=5(x 5),它们的交点了2)选取x为积分变量则x的变化区间为[0,5,应分两块计 算(若选y为积分变量得分三块计算)在[o,上相应于任一小区间[x,x+d]的面积元 素d1=【x2-5x+4-4+5]z=d,在[},5]上,相应于任一小区间[x,x+d] 的面积元素dA2=[x2-5x+4-4-5(x-5)]dx=(x2-10x+25)dx.故